Побудова модального керування системою за заданим спектром (Лабораторна робота № 7)

Лабораторна робота № 7

Завдання:

Задана дискретна лінійна стаціонарна детермінована математична модель  з простором станів

де , спектр матриці А та матриця С задані в таблиці .Побудувати модальне керування системою за заданим спектром з таблиці .

Теоретичний матеріал:

Модальне керування ставить за мету досягнення усталеного режиму функціонування системи, що характеризується асимптотичною стійкістю системи.Оскільки задана модель є лінійною, то ,

 - матриця розмірністю .

.

Так як асимптотична стійкість системи визначається власними значеннями системи, то керування здійснюється за заданим спектром.               .

Підставимо у перше рівняння:                   .

Врахування заданого спектру для досягнення асимптотичної стійкості системи означає, що існує як зразок інша система, подібна до досліджуваної, що має властивість асимптотичної стійкості.

Задача модального керування полягає в побудові такої матриці , щоб власні числа матриці   збігалися з заданим спектром . Побудова матриці  здійснюється за умови , що задана модель і наслідувана модель будуть еквівалентними.У еквівалентних моделей матриці подібні, а отже характеристичний поліном і спектр однакові.       

.

Розв’язання:

Характеристичний поліном матриці А другого порядку в загальному вигляді є таким:

.

Знайдемо його за заданим спектром:

.

Отже, коефіцієнти характеристичного полінома , .

За заданим спектром – коренями квадратного рівняння – відтворимо заданий характеристичний поліном.

.

, .

Оскільки за умови , то  буде мати вигляд:

Отже матриця  також записана у формі Фробеніуса. Заданий характеристичний поліном з коефіцієнтами  є характеристичним поліномом , то отримаємо систему:

                          .