Метод наименьших квадратов

2. Метод наименьших квадратов.

Чтобы уменьшить произвол выбора функциональной зависимости существует

ряд методов, одним из которых является метод наименьших квадратов. При анализе многих ситуаций мы приходим к выводу, что взаимосвязь между величинами x и y может быть линейной, т.е. может быть отражена в виде: .

                Это уравнение называют уравнением регрессии. Спрашивается, каким образом лучше всего
определить коэффициенты а и b этого уравнения? Условимся коэффициенты а и b уравнения
регрессии искать в предположении, что сумма квадратов отклонений уравнения регрессии от

экспериментальных точек была наименьшей, т.е.

.

Решая уравнения:

получим:

К линейной регрессии можно привести и нелинейные формы. Например, зависимость

проводимости полупроводника от температуры выражается формулой: .

Представим себе, что вы поставили задачу найти константы и , характеризующие

эту зависимость. Приведем зависимость к виду:

В этом выражении играет роль аргумента х, а - роль константы b. Фактически

это означает, что мы перешли к новым координатам.

            Методом наименьших квадратов можно решать так же задачу о подборе квадратов зависимости, представленную параболой второго порядка или суммой некоторых функций. Фактически мы производим операцию «сглаживания» экспериментальной зависимости некоторой математической зависимостью.