Изучение сигналов: фильтра Калмана, демодуляция

На основе метода переменных состояний возможен подход, при котором определяют дифференциальные уравнения, моделирующие этот фильтр. Этот метод позволяет решить более общую задачу – выделения с наименьшей погрешностью g²(t)=[b^(t)-b(t)]² сообщения b(t) из наблюдаемого на конечном интервале времени сигнала z(t)=s(t, b)+n(t). Условие стационарности сигнала и помехи в рамках этого метода не обязательны. Относительно фильтруемого сообщения b(t) дополнительно предполагают, что оно порождается линейным стохастическим дифференциальным уравнением. В частом случае используют уравнение

(1)

где n₁(t) - нормальный белый шум с нулевым средним значением n₁(t)=0 и односторонней спектральной плотностью N₁. Сформированное т.о. сообщение b(t) является гаусовским марковским процессом с функций корреляции

B₀(τ)=P₀e^-α|τ|, P₀=N₁/(4α), α=1/(RC).

Спектральная плотность мощности такого сообщения

В более общем случае сообщение описывается системой линейных дифференциальных уравнении.

Рассмотрим случай линейной фильтраций, когда наблюдаемый процесс на входе фильтра задан уравнением

(2) z(t)=b(t) f(t)+n(t), 0≤t≤T,

а сообщение b(t) -уравнением (1). Здесь f(t) – известная функция (несущее колебание): b(t)f(t)=s(t,b) – передаваемый сигнал; n(t) – белый гаусовский шум с нулевым средним значением n(t)=0 и односторонней спектральной плотностью N₀. Уравнение (2) является уравнением наблюдения, а (1) – уравнением состояния. На основе уловия оптимальной линейной фильтраций выводится соотношении, которое позволяет получить уравнения:                                      (3)

 (4)

Уравнения (3) и (4) принято называть уравнениями фильтра Калмана. Уравнение (3) определяет алгоритм формирования оценки, структурную схему фильтра, а (4) – ошибку фильтрации k=g²(t). Структурная схема, моделирующая уравнение (3)- рис 1а. Построение схемы удобно начинать с интегратора. Для этого обозначим правую часть через y(t)=y₁(t) +y₂(t), где y₁(t)=f(t)[z(t)-f(t)b^(t)],  y₂(t)= -αb^(t). Тогда уравнение (3) запишется как db^/dt=y(t). Отсюда следует, что если на вход интегратора подать напряжение y(t), то на его выходе получим оценку сообщения b^(t). Для того чтобы сформировать напряжение y₁(t), необходимо иметь генератор Г несущего колебания f(t), два перемножителя, сумматор и усилитель с коэффициентом усиления 2k/N₀. С помощью этих устройств осуществляются все операции, входящие в выражение для y₁(t). Напряжение y₂(t) получается с помощью усилителя с коэффициентом усиления α на вход которого поступает напряжение оценки b^(t). Суммарное напряжение y(t)=y₁(y)+y₂(t) с выхода сумматора поступает на вход интегратора, выход которого представляет оценку b^(t). Для немодулированного сигнала, когда s(t,b) в (3) и (4) нужно положить f(t)=1 и схема фильтра Калмана примет более простой вид (рис 1б).

В качестве примера рассмотрим фильтрацию гаусовского марковского сообщения в канале с амплитудой модуляций, когда для передачи сообщения b(t) используется сигнал

(5) s(t, b)=b(t) sinω₀t

Этот сигнал АМ с подавленной несущей. Уравнение наблюдения в этом случае

z(t)=b(t) sinω₀t+n(t).

Уравнение оценки согласно (3)

Можно пренебречь cos 2ω₀t. Тогда имеем