Кинематика вращательного движения. Решение задачи о заряженном шаре и слое диэлектрика

1. Кинематика вращательного движения.

Дано: Диск (кольцо, цилиндр) к которому по касательной приложена сила F. Известна масса диска и радиус.

Требуется найти

1.  Момент импульса, как функцию времени

2.  Работу, как функцию времени

3.  Угловую скорость, как функцию времени

Решение.

Рассмотрим общий случай, когда F=F(t)

1. Момент импульса

, так как нас интересую только проекции на ось z, то . Тогда, т.к. для отдельно взятого тела I=const,

, (смотри пункт 3). Таким образом .

Примечание: В случае, когда F=const,

2. Работа.

, соответственно, ,  - смотри пункт 3.

3. Скорость, как функция от времени.

, причем . Но  т.к. сила приложена по касательной, то ,. Таким образом .

Примечание:

Момент инерции диска: , цилиндра, кольца:

Решение задачи о заряженном шаре и слое диэлектрика.

Дано: Заряженный шар, радиусом R, зарядом +Q, вокруг него слой диэлектрика толщиной d, =2.

Найти: Потенциал в центре шара.

Решение

Потенциал связан с напряженностью электрического поля следующим соотношением:

, или иначе , полагая .

 Всю нашу среду, в которой нам нужно рассчитать разность потенциалов можно разделить на три части.

1. Вне шара и вне диэлектрика.
2. Внутри диэлектрика
3. Внутри шара

Рассмотрим каждую из этих частей по отдельности, а затем сложим.

Вне шара и вне диэлектрика.

Для того чтобы найти потенциал произвольной точки вне нашей системы, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора смещения D.

. В нашем случае . D – константа,  (по определению D). В нашем случае =1, так как берем точку в вакууме.

Представим нашу вспомогательную поверхность, через которую будем рассчитывать поток, как концентрическую сферу, радиусом . Тогда

Тогда

Внутри диэлектрика

Рассчитаем разность потенциалов на концах диэлектрика.

Внутри шара

Так как шар равномерно заряжен, плотность его заряда равна .

Отсюда, . .

Тогда разность потенциалов:

И суммарная разность потенциалов между центром шара и бесконечностью:

В магнитное поле влетают две частицы. Начинают двигаться по окружности.
Первая по окружности радиуса r1, вторая по окружности радиуса r2. q1=q2. При
ускорении частицы прошли одинаковую разность потенциалов. Необходимо найти
отношение масс m1/m2.

Решение.

Так как частицы прошли одинаковую разность потенциалов, то им сообщили одинаковую кинетическую энергию, а  так как  - работа по перемещению заряда, и , то .

На каждую из частиц действует сила Лоренца , а так как частицы движутся по окружности, то . Кроме того, исходя из второго закона Ньютона . Тогда

Найдем теперь соотношение масс. Однако учтем при этом, что частицы находятся в одном поле, поэтому B=const

 

Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности радиуса R , дано B и сказано, что данная частица под действием потенциальной силы U   была предварительно Ускорена. Найти скорости частицы.

Решение.

Скорости частицы могут быть только  - угловая и линейная.

На частицу в магнитном поле действует сила Лоренца:

 (в скалярном виде). Кроме того, исходя из второго закона Ньютона . Тогда 

Так как частица обладает скоростью, то она обладает и кинетической энергией:

. Эту кинетическую энергию она приобретает при разгоне в поле потенциальной силы U, совершающей работу над частицей равную . Тогда:

.

Подставляя это в формулу для линейной скорости получаем:

, а угловая скорость соответственно:

Ион влетает в магнитное поле и начинает двигаться по окружности, известно B. Найти кинетическую энергию иона, если известно, что магнитный момент электрического кругового тока равен p.

Решение.

По определению, кинетическая энергия .

.

Период обращения .

Рассматривая силу Лоренца по определению и с точки зрения второго закона Ньютона, получаем (см. задачи выше):

Тогда . Площадь поверхности, ограниченной радиусом вращения

Тогда

Выведем формулу угловой скорости через имеющуюся у нас формулу периода:

Подставим ее в формулу кинетической энергии:

 

Частица массой m, зарядом q влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям напряженности, дан вектор B, скорость V. Найти магнитный момент.

Решение.

.

Период обращения .

Рассматривая силу Лоренца по определению и с точки зрения второго закона Ньютона, получаем (см. задачи выше):

Тогда . Площадь поверхности, ограниченной радиусом вращения

Тогда

В магнитном поле заряд q массой m  движется со скоростью V, причем B перпендикулярно силовым линиям. Определить момент сил.

Решение.

На частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца.

Рассматривая силу Лоренца по определению и с точки зрения второго закона Ньютона, получаем (см. задачи выше):

Соответственно при вращательном движении:

, так как сила прикладывается по касательной.

Задачи на рамки с током

Дано:

Рамка с током в виде квадрата/равностороннего треугольника со стороной , по ней течет ток .

Найти:

Магнитную индукцию в центре симметрии. Точнее его модуль.

Решение:

Для начала определим куда направлен вектор магнитной индукции в середине фигуры. По правилу буравчика (большой палец потоку, остальные указывают направление магнитной индукции) определяем, что все токи направлены в одном и том же направлении. Для однозначности будем считать, что ток у нас по рамке течет против часовой стрелки, тогда вектор магнитной индукции будет направлен на нас, в противном случае – от нас. Т.к. все три вектора направлены в одну и ту же сторону, то суммарный вектор будет равен сумме всех векторов (у каждой стороны свой вектор). Тогда , где  - количество сторон в правильной фигуре (3 и 4 для треугольника и квадрата соответственно). Замечу, что равенство магнитных индукций следует из того, что длины всех сторон равны, токи, текущие по всем сторонам, тоже равны и расстояния до точки, в которой следует посчитать магнитную индукцию также равны. Если это не так, следует считать магнитную индукцию для каждой стороны отдельно.

Теперь осталось применить формулу БСЛ: . Освободимся от векторов: . Т.к. и , и  зависят от величины , попробуем от них избавиться: . Теперь вспомним, какая фигура нам дана:

1)  для треугольника . Подставляем в полученное выражение, мы получаем: . Теперь используем формулу . Т.к. угол  изменяется в пределах , получаем конечный интеграл: .

2)  для квадрата . . .