Изолированные особые точки однозначного характера. Ряды Лорана. Вычисление вычетов. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Вычисление интегралов с помощью вычетов (Практические занятия № 11-23), страница 2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №20-23.

Тема: Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Основная идея при вычислении определенных интегралов с помощью вычетов состоит в сведении таких интегралов к интегралам по замкнутому контуру. Контур выбирается таким образом, чтобы внутри него находились особые точки (полюсы) соответствующей рациональной подинтегральной функции.

1. Интегралы вида I=, где R(u,v)- рациональная функция от u и v.

Они сводятся к интегралам по замкнутому контуру подстановкой . Тогда sinj=, cosj=, dj=. Исходный интеграл преобразуется к виду I=, где -рациональная функция от z.

2. Интеграл вида I=, R(x)-рациональная функция. Для него выбирается вспомогательный замкнутый контур ,

где C_R: |z|=R, Imz³0. Величина R выбирается достаточно большой, такой, чтобы внутри контура находились все полюсы функции R(t), имеющие положительную мнимую часть. Если R(z)~, , A¹0, k³2, целое, то интеграл I равен I=2pi.

Замечание. Контур  не обязательно имеет указанный вид, им может быть, например, контур : |z|=R, 0, n>2 -целое.

3. Интеграл вида I=, >0, R(x)- рациональная функция. Вспомогательный контур  имеет такой же вид, что и в пункте 2. Если на действительной оси нет полюсов R(z) и R(z)~, A¹0, k³1, то интеграл равен I=2pi.

Замечания 1. Если a<0, то контур  заменяется симметричным относительно действительной оси и в правой части формулы появляется знак "-".

2. Контур G может иметь другой вид, например, контур  может состоять из двух окружностей радиусов r и R с общим центром в начале координат и двух отрезков [-r,-R] и [r,R].

4. Интеграл вида , -нецелое вещественное число, R(x)- рациональная функция. Для него вспомогательным замкнутым контуром является контур, состоящий из двух окружностей радиусов  r и R с центром в точке (0,0) и двух отрезков: l₁: - верхний берег разреза и l₂: - нижний берег разреза. При этом r достаточно мало, R- достаточно велико, так, чтобы внутри контура находились все полюсы функции R(z). При условии, что 0<a<k, где k определяется из асимптотического соотношения R(z)~, A¹0, z- целое, интеграл равен I=, z_k- все полюсы функции R(z).

5. Интеграл вида , -нецелое вещественное число, R(x)- рациональная функция. Вспомогательный контур имеет вид "гантели": интеграл рассматривается на всей комплексной плоскости за исключением разреза по отрезку [0,1] и окружностей радиуса r вокруг точек 0 и 1 соответственно. Таким образом, контур состоит из окружностей C_r: |z|=r, :|z-1|=r и отрезков l₁:  и l₂: , лежащих на верхнем и нижнем берегах разреза соответственно.

Если -1<<1 и  не имеет полюсов на отрезке [0,1], то , z_k- все полюсы функции R(z) и =.

Подстановкой  интеграл может быть сведен к интегралу типа 4.

6. Интеграл вида , -действительное число, 1, R(x)- рациональная функция, удовлетворяющая тем же условиям, что и в случае 4. Вспомогательный контур интегрирования для интеграла этого типа такой же, как и в случае 4: это две окружности радиусов r и R: C_r: |z|=r, C_К: |z|=R и два отрезка l₁:  и l₂: , лежащих на верхнем и нижнем берегах разреза по положительной действительной оси соответственно.

Обозначим через  подинтегральную функцию на отрезке l₁, через - подинтегральную функцию на отрезке l₂:. Тогда =, где сумма берется по всем полюсам функции

Возможны два случая

1. Число -нецелое. Тогда левая часть последнего равенства содержит ; интегралы (при >1) вида , . Последние связаны рекуррентными соотношениями, позволяющими вычислить интеграл .

2. Число - целое. Тогда для вычисления интеграла в качестве подинтегральной функции следует взять .

Рассмотрим примеры.

1. Вычислить интеграл I=.

a=1/2, ~, z®¥ Þ k=2. Поскольку aÎ(0,2), то =

==

= Þ 2I+2pi=2pif(z) и f(z)=.

Точка z= -1 является для f(z) полюсом второго порядка, поэтому f(z)== , где == -i, =ip. Следовательно, f(z)=+i. Имеем: 2I+2pi= -2p+ip². Приравнивая мнимые и действительные части выражения, находим I= -p, =.

2. Вычислить интеграл I=, a>0.

Для получения результата следует вычислить интеграл I₁= указанным выше способом: = -i4p+ +4p² Þ -4pi I+ 4p²=2pi, причем f(z)=. Точки ±ia являются полюсами первого порядка для f(z), поэтому ==; =  == =;

== =; =. Таким образом, имеем равенство:

I+=+ Þ I=.

Для данного примера в силу четности функции R(z)= контуром интегрирования можно взять контур G_r,R, описанный в замечании 2 для интегралов третьего типа. Поскольку интеграл этого типа сходится при тех же условиях на функцию R(z), что и интеграл четвертого типа, то имеем:

=2pi, где f(z)= и lnz- регулярная ветвь логарифма, принимающая действительные значения при z=x>0.

Здесь ==, = +=

= + =2I +ip; итак, 2I+ip=+ ÛI+ =   +  Þ  I=.