Гармоническое колебательное движение и волны. Электромагнитные колебания и волны

Гармоническое колебательное движение и волны

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид , где  - смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени,  - амплитуда,  - период,  - начальная фаза,  - частота колебаний,  - круговая частота. Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями , . Сила, под действием которой точка массой  совершает гармоническое колебание, , где , т.е. . Здесь  - период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы , где - жесткость пружины, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице. Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид , . Полная энергия . Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника. Период колебаний математического маятника . При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой  и с начальной фазой, определяемой из уравнения , где  и  - амплитуды слагаемых колебаний,  и  - их начальные фазы. При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид . Если на материальную точку массой , кроме упругой силы , действует еще мила трения , где  - коэффициент трения и  - скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид , где  - коэффициент затухания. При этом  и , где  - круговая частота собственных колебаний. Величина  называется логарифмическим декрементом затухания. Если на материальную точку массой , уравнение колебаний которой дано в виде , действует внешняя периодическая сила , то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид , где , . Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний  связана с частотой собственных колебаний  и с коэффициентом затухания  соотношением . При распространении незатухающих колебаний со скоростью  вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстояние , дается уравнением , где  - амплитуда колеблющихся точек,  - длина волны. При этом . Две точки на луче на расстояниях  и  от источника колебаний имеют разность фаз . При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются соответственно при условиях , . Здесь  - разность хода лучей.

Электромагнитные колебания и волны

Период  электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из емкости , индуктивности  и сопротивления ,  определяется формулой . Если сопротивление контура настолько мало, что , то период колебаний . Если сопротивление контура  не равно нулю, то колебания будут затухающими. При этом разность потенциалов на обкладках конденсатора меняется со временем по закону , если время отсчитывать от момента, соответствующего наибольшей разности потенциалов на обкладках конденсатора. Здесь  - коэффициент затухания. Величина  называется логарифмическим декрементом затухания. Если , то колебания будут незатухающими, и тогда можно записать . Если время отсчитывать от момента, когда разность потенциалов на обкладках конденсатора равна нулю, то будет справедливым соотношение . Закон Ома для переменного тока записывается в виде , где  и  - действующие значения тока и напряжения, связанные с их амплитудными значениями  и   соотношениями , , а  - полное сопротивление цепи. Если цепь содержит сопротивление , емкость  и индуктивность , соединенные последовательно, то . При этом сдвиг фаз между напряжением и током определяются формулой . Формулы для полного сопротивления цепи  и сдвига фаз  между напряжением и током при различных способах включения сопротивления , емкости  и индуктивности : а)  и  включены последовательно: , ; б)  и  включены параллельно: , ; в)  и  включены последовательно: , ; г)  и  включены параллельно: , ; д) ,  и  включены последовательно: , . Катушка, обладающая сопротивлением  и индуктивностью , в цепи переменного тока соответствует последовательно включенным  и . Конденсатор с утечкой, т.е. конденсатор, обладающий емкостью  и сопротивлением , соответствует параллельно включенным  и . Мощность переменного тока .

Волновая оптика

По принципу Доплера частота  света, воспринимаемая регистрирующим прибором, связана с частотой , посылаемой источником света, соотношением , где  - скорость регистрирующего прибора относительно источника,  - скорость распространения света. Положительное значение  соответствует удалению источника света. При  формулу приближенно можно представить в виде . Расстояние между интерференционными полосами на экране расположенном параллельно двум когерентным источникам света, , где  - длина волны света,  - расстояние от экрана до источников света, отстоящего друг от друга на расстоянии  (при этом ). Результат интерференции света в плоскопараллельных пластинках (в проходящем свете) определяется формулами: усиление света ; ослабление света , где  - толщина пластинки,  - показатель преломления,  - угол преломления,  - длина волны света. В отраженном свете условия усиления и ослабления света обратны условиям в проходящем свете. Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) определяются формулой ; радиусы темных колец , где  - радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых и темных колец обратно их расположению в проходящем свете. Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую нормально падает пучок параллельных лучей определяется условием , где  - ширина щели,  - угол дифракции,  - длина волны падающего света. В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях, составляющих с нормалью к решетке угол , удовлетворяющий соотношению ( при условии, что свет падает на решетку нормально) , где  - постоянная решетки,  - угол дифракции,  - длина волны падающего света и  - порядок спектра. Постоянная решетки , где  - число щелей решетки, приходящееся на единицу длины решетки. Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой , где  - общее количество щелей решетки,  - порядок спектра,  и  - длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой. Угловой дисперсией дифракционной решетки называется величина . Линейной дисперсией дифракционной решетки называется величина , где  - фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран. При отражении естественного света от диэлектрического зеркала имеют место формулы Френеля , , где  - интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света,  - интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения света,  - интенсивность падающего естественного света,  - угол падения,  - угол преломления. Если , то . В этом случае угол падения  и показатель преломления  диэлектрического зеркала связаны соотношением  (закон Брюстера). Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор,  (закон Малюса), где  - угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора,  - интенсивность света, прошедшего через поляризатор.