Проверка статистических гипотез

Лекция № 13.

Проверка статистических гипотез.

I.  Понятие статистической гипотезы. Алгоритм проверки случайной величины.

x - случайная величина, F_x(х) – теоретический закон распределения, его параметры m, s² и другие. Все это известно. 

 - выборка объема n.

F(х) – заданная функция.

m_x=m₀

Определение. Статистической гипотезой называется всякое предположение о свойствах некоторой случайной величины x (или о свойствах ее генеральной совокупности).

          Н₀ – основная гипотеза.

          Н₁ – альтернативная гипотеза (обычно отвергает гипотезу Н₀).

Пусть 

                                          Н₀ : Q = Q₀                                        (1) 

при такой основной гипотезе, альтернативная гипотеза может иметь вид:

                                Н₁:Q<Q₀, Н₁:Q>Q₀, Н₁:Q¹Q₀.                              (2)

          Обычно решение об истинности или ложности выбирается на оси значимости некоторой статистики, вычисленной по выборке       g(х₁, …,х_n) – статистика (является случайной величиной).

          Т.к. статистика - случайная величина, то принятие той или иной гипотезы с ее помощью могут возникать ошибки первого и второго рода.

          Ошибка называется ошибкой второго рода, если принимается гипотеза Н₀ и она не верна.

          Ошибка называется ошибкой первого рода, ели отвергается верная гипотеза Н₀.

          Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости, обозначается через a и обычно a=0,01; 0,05; 0,001.

          Вероятность ошибки второго рода обозначается через b, а величина 1-b называется мощностью критерия значимости.

          x - генеральная совокупность           - выборка, g(х₁, …, х_n) – статистика.

 

          Это множество можно разбить на два подмножества. На основе одних значений гипотеза принимается, на других – отвергается.

          Множество значений статистики, при которых гипотеза Н₀ принимается называется допустимой областью или областью принятия гипотезы.

          Множество тех значений статистики, при которых гипотеза Н₀ отклоняется называется критической областью.

          Чаще всего допустимая и критическая области являются отрезками на вещественной оси. И задается примерно так:

критическая область

g(х₁, …, х_n)£Q_0,

                                             g(х₁, …, х_n)³Q_0.                                         (3)

g(х₁, …, х_n)£Q_{0 и} g(х₁, …, х_n)³Q₁

          Принцип статистической области в уровнях (3) называется пределами значимости  (Q₀ и Q₁).