Создание Максвеллом уравнений электромагнетизма

21

Максвелл на основе полученных им уравнений электромагнетизма предсказал существования ЭМВ. Покажем, что в однородной изотропной непроводящей среде () векторы поля удовлетворяют волновому уравнению, причем скорость распространения  , где . Выпишем систему уравнений Максвелла:   (1). В однородной изотропной среде , а из условия  (поскольку ) следовательно, что . Из закона сохранения заряда  вытекает , что , то есть . Но независящее от времени распределение плотности заряда можно породить только постоянное поле, а если нас интересует переменное поле, то можно считать, что . Это позволяет записать систему уравнений Максвелла в виде:  Дифференцируя  уравнение (2) по времени и заменяя в полученном уравнении  из уравнения (3), имеем:   (6). Пользуясь формулой векторного анализа  и принимая во внимание (4), получим:   (7). Аналогично из (2) и (3) находим:   (8). (7) и (8) – это волновые уравнения соответственно для векторов  и  удовлетворяет волновому уравнению, вытекает, что ЭМП, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Скорость распространения ЭМВ  определяется исключительно свойствами среды. Рассмотрим теперь решение волнового уравнения. Начнем с самого простого случая пространственного одномерного волнового уравнения:  (9). Общие решение этого уравнения имеет вид: (10). Если в момент времени равным нулю изобразить функцию  и  то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси  со скоростью  как целое: -вправо, -влево. Ограничимся так называемыми гармоническими монохроматическими волнами, то есть  синусоидальными волнами с одной циклической частотой  . Гармоническая зависимость любой величины S от времени может быть представлена в общем в виде: , где S₀ – значение рассматриваемой величины в точке с координатой x в момент времени равное нулю. Решение уравнение (8) и удовлетворяющее условию (10), дающее гармоническая зависимость S от t имеет вид:     (11). Фазы волны, то есть ее состояние в данной точке пространства в данный момент времени определяется выражением  . Нам понадобиться еще выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, с постоянным вектором m. Поскольку уравнение пространства, перпендикулярной вектору m. Имеет вид:  , плоскую волну можно записать в виде:   (12). Введем волновой вектор  , определив его как:  , - единичный вектор в направлении распространения волны. Следовательно,  (13). Убедимся , что (14) –решение пространственного трехмерного волнового  уравнения.

Удобно  ввести  оператор Даламбера, ð                 (14)

Где D- оператор Лапласа. Следовательно волновое уравнение  для скалярной величины 

ðS=0         (15)

применяя к (13) оператор ð, получим

ðS(r,t)=

вектор  называется волновым вектором  потому, что имеет  непосредственное отношение   к длине волны. Длиной волны называют  расстояние между двумя ближайшими  точками волны, обладающими одинаковой фазой. Рассмотрим плоскую волну 13 и допустим, что фазы в точках  r и r+l, одинаковы. Тогда в любой момент времени должно соблюдаться равенство: . Это может быть лишь в том случае если   или    . Если представить пространственно-временное изменение векторов   и   в виде плоских волн:    (16), то эти выражения безусловно удовлетворяют выражениям (7) и (8). Однако, чтобы они удовлетворяли уравнениям Максвелла, на них следует наложить еще дополнительные условия. Подставляя их соответственно в (4)  и (5) получим  , . Равенство нулю означает, что  и . Кроме того, нетрудно установить, что  и   взаимно . Чтобы убедиться в этом представим (16) в левые части (2) и (3):   и  . Следовательно, уравнения (2)  и (3) примут вид:  или  (17),  или   (18). Достаточно умножить на  или (18) на , чтобы получить:   (19). Следовательно векторы , ,  взаимно  и образуют правую тройку векторов. Вектор  определяет направление распространение волны. Векторы  и  колеблются в плоскости,  направлению . Таким образом ЭМВ в указанных условиях является поперечно - поляризованной (направление колебаний  направлению распространения).  Если ввести  четырехмерный волновой  вектор кванта света фотона  то легко получить формулы, описывающие эффект Доплера; он обнаруживается для волн любой природы и заключается  в том, что при относительном движении источника и приемника (наблюдателя) частота света  или звука, определяемая наблюдателем отличается от частоты, измеренной в СО где источник покоится. Рассмотрим  плоскую световую волну, наблюдаемую в системе отсчета   и характеризуемым четырех мерным вектором . Выберем систему  так чтобы    луч света  распространялся  в этой системе в пространстве  и составляет угол q с осью . Выпишем компоненты четырех

 мерного вектора ; , , компоненты  в системе К находятся по формулам: , ,  или для :

                  (20), следовательно, если в системе  частота света была равной , то в системе К она уже будет согласно (20) иной. Для  :

  если принять во внимание (20), то  (21) пусть источник  покоится в системе , тогда приборы, покоящиеся  в системе, фиксируют собственную частоту  источника света   , найдем зависимость частоты   wв системе К от угла Q. Из (21) следует, что  откуда  и следовательно (20) может окончательно записаться так  эта формула описывает   эффект Доплера. Наблюдатель в системе К зафиксирует частоту излучения w, не совпадающую с собственной частотой  w₀.

1. Если излучение принимается  в направлении  относительной скорости  следовательно  продольный эффект Доплера. Если к системе отсчета      то источник удаляется  от наблюдателя  и свет движется

в направлении, противоположном направлению оси. Тогда Q=p и cosQ=-1 следовательно  и  снижение частоты.

2. если система  находится слева  от К, то cosQ=-1 и источник приближается к наблюдателю 

   (w>w₀). Если источник движется  перпендикулярно  лучу зрения   следовательно попереч эффект Доплера:  Э.Д. позволяет измерять  скорость движения  источников излучения  или рассеивающих  волны объектов  и находит  широкое практическое применение. Так в астрофизике Э.Д. используется  для определения  спектра излучений далеких галактик.  Используется для измерения скорости движ. целей.