Центр масс. Понятие центра масс. Теорема о движении центра масс. Система центра масс (С-система), страница 2

Здесь масса данной фигуры, масса удаленной части, γ – поверхностная плотность.

Подставив (1) и (2) в (3), получаем

Отсюда легко найти

Следовательно, центр масс данной фигуры расположен на оси OX, что ясно из соображений симметрии, и смещен относительно точки O на 1см влево.

3 Лодка стоит неподвижно на поверхности озера. На корме и на носу лодки на расстоянииl друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки M, массы людей иРыболовы меняются местами. Как и в какую сторону переместится при этом лодка относительно воды? Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

Решение. Будем считать, что центр масс лодки находится на одинаковом расстоянии от каждого из рыболовов. Совместив с начало отсчета O, для радиус-векторов лодки и рыболовов в исходном положении можем записать

; ; , (1)

где - единичный вектор оси OX.

Следовательно, радиус-вектор центра масс системы лодка-рыболовы в этом случае

(2)

Если, после обмена рыболовов местами, центр масс лодки сместился на величинуто выражения аналогичные (1) имеют вид:

;

и (3)

Так как система лодка-рыболовы замкнутая, то положение ее центра масс не изменится, т.е.

(4)

Подставив (2) и (3) в (4), имеем

Отсюда

При лодка будет смещаться в направлении оси OX, а при в противоположном направлении.

Задачи

1 Система состоит из трех частиц, массы которых и расположенных в точках А₁(1;2;3), А₂(2;3;1), А₃(3;1;2) соответственно (значения координат даны в метрах). Найти радиус-вектор центра масс системы.

2 Найти декартовы координаты центра масс С: а) однородной квадратной тонкой пластинки, находящейся в плоскости XY; б) неоднородной квадратной пластинки с поверхностной плотностью σ₁=2σ₂ , расположенной в той же плоскости (рисунок 7.5 ).

3 Однородная фигура состоит из полукруга радиуса R и равностороннего треугольника (рисунок 7.6). Найти координаты ее центра масс С.

4 Определить положение центра масс однородных плоских фигур, в которых вырезаны круглые отверстия с радиусами r, относительно точки O (рисунок7.7). Необходимые геометрические размеры приведены на рисунках.

5 На какое расстояние сместится неподвижно стоящая на воде лодка, если человек массы m=70кг перейдет с носа лодки на корму? Длина лодки l=2,5м, масса M=100кг. Сопротивлением воды пренебречь.

6 Через неподвижный блок перекинута тонкая нерастяжимая нить, на концах которой подвешены грузы массами m₁и m₂ (m₂ >m₁). В начальный момент времени оба груза находились на одной высоте. Определить, на какое расстояние сместился центр масс грузов через время t после начала движения. Найти ускорение центра масс грузов. Трения нет. Массами блока и нити пренебречь.

7 Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на другом конце – уравновешивающий груз массы M (рисунок 7.8). Человек, масса которого m, совершил перемещение вверх относительно лестницы и остановился. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемещение центра масс этой системы.

8 Система состоит их двух шариков с массами m₁и m₂ , которые соединены между собой невесомой пружиной. В момент t=0 шарикам сообщили скорости и , после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени импульса этой системы в процессе движения и радиус-вектора ее центра масс относительно его начального положения.

9 Два тела массами и скользят по гладкому горизонтальному столу во взаимно перпендикулярных направлениях (рисунок 7.9). После неупругого соударения они движутся дальше вместе в направлении, составляющем угол α с направлением движения первого тела до столкновения. Найти отношение скоростей тел до удара. Для изображенного на рисунке 7.9 момента укажите положение центра масс системы и направление его скорости. Покажите, что сумма импульсов тел в С-системе равна нулю.

10. Два небольших тела, массы которых m₁и m₂, связаны между собой легкой нерастяжимой нитью длины l. Тела движутся по гладкой горизонтальной поверхности так, что в некоторый момент времени скорость одного тела равна нулю, а второго - , причем ее направление перпендикулярно нити (рисунок 7.10). Определить силу натяжения нити в процессе движение тел.