Функция состояния. Расчет вероятностей состояний микрочастицы

ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ. РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

СОСТОЯНИЙ МИКРОЧАСТИЦЫ

            Вероятность нахождения частицы в объеме

,

где  - функция состояния (волновая функция) частицы,  - функция, комплексно сопряженная с ;  - квадрат модуля функции состояния, характеризующий плотность вероятности обнаружения частицы в состоянии, которому отвечает функция .

            Для стационарных состояний

,

где  - координатная (амплитудная) часть волновой функции.

            Условие нормировки вероятностей

,

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, то есть по координатам x, y, z от  до , .

            При использовании сферических координат;  , и переменные  изменяются в диапазонах ; ; .

            Вероятность обнаружения частицы в интервале от  до

.

            Среднее значение физической величины A, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, которому соответствует волновая функция ,

,

где  - соответствующий оператор,  - нормированная функция состояния,  - элемент объема.

            Основные квантовомеханические операторы:

            проекция и квадрат импульса ……….; ;

            полная энергия (гамильтониан) ……..;

            проекции момента импульса ………..; ;

                                                                             ;

            квадрат момента импульса …………...

Здесь  - оператор Лапласа; его вид в сферических координатах:

;

,

где  - угловая часть оператора Лапласа.

            Собственные значения и собственные функции оператора :

,   0, 1, 2, ….

,   .

Функции  для s-, p- и d- состояний приведены в таблице 1 (с точностью до нормировочного множителя).

Таблица 1

Состояние
s	0, 0	1
p	1, 0 1, 1
d	2, 0 2, 1 2, 2

Функции , где ,  - первый боровский радиус, приведены в таблице 2.

Таблица 2

Состояние
	1, 0
	2, 0
	2, 1
	3, 0
	3, 1
	3, 2

            Для электрона, входящего в состав атома водорода:

·  орбитальные моменты импульса и магнитный момент электрона:

 ;  ,

где - орбитальное квантовое число, которое может принимать значения 0, 1, 2, …, ;  - магнетон Бора ( Дж/Тл);

·  проекция орбитальных момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z):

; ,

где  - магнитное квантовое число;

·  гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов

;

·  спиновые момент импульса и магнитный момент электрона

;   ,

где  - спиновое квантовое число (для электрона );

·  проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего по направлению с осью Z)

;    ,

где  - спиновое магнитное квантовое число (; +1/2);

·  гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов

.

1. Задачи для коллективного анализа и самостоятельного решения

1.  Функция состояния некоторой частицы может быть представлена в виде . Покажите, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной частью функции состояния .

2.  Функция состояния некоторой частицы имеет вид , где  - расстояние этой частицы до силового центра;  - некоторая постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормирующий множитель  .

Ответ:

3.  Используя условие нормировки вероятностей, определите нормирующий множитель волновой функции , описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где  - расстояние электрона от ядра,  - первый боровский радиус.

Ответ:

4. Волновая функция  определена только в области . Используя это условие, определите нормировочный множитель .         Ответ:

5. Функция состояния некоторой частицы имеет вид , где  - расстояние этой частицы до силового центра;  - некоторая постоянная. Определите среднее расстояние частицы до силового центра.                                                       Ответ:

6. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где  - расстояние электрона от ядра,  - первый боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния электрона до ядра в основном состоянии.                                                                                        Ответ:

            7. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где  - расстояние электрона от ядра,  - первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние электрона до ядра.

Ответ:

8. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной  с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (). Определите, в каких точках ямы () плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Поясните полученный результат графически.

Ответы: 1) ; ; ; 2) ; .

            9. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определите вероятность пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом , где  - радиус первой боровской орбиты. Волновую функцию электрона в основном состоянии считать известной (см. таблицы 1 и 2).                                                                                           Ответ:

            10. Электрон в возбуждено атоме находится в 3p- состоянии. Определите изменение его орбитального механического и магнитного моментов при переходе в основное состояние.                                                                 Ответ: Дж/Тл

            11. Определите возможные значения проекции  орбитального момента импульса   электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон находится в состоянии.

2. Задачи для самостоятельного решения

12. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике шириной . Вычислите вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (+, будет обнаружен в средней трети ящика.                   Ответ:

13. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой функции, а о квадрате ее модуля?

14. Докажите, что если - функция циклически зависит от времени [то есть ], то плотность вероятности есть функция только координаты.

15. Покажите, что собственные функции  и , описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, то есть

.

16. Определите для электрона, находящегося в атоме водорода в 2s- состоянии:        1)  расстояния от ядра, на которых вероятность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю. Каковы  значения орбитальных механического и магнитного моментов, какие значения могут принимать их проекции на направление внешнего магнитного поля? Каковы спиновый механический и магнитный моменты электрона в этом состоянии? Каковы возможные проекции спиновых моментов электрона? Каковы гиромагнитные отношения для орбитальных и спиновых моментов электрона?