Фундамент анализа. Определение множества действительных чисел

§ 5. Фундамент анализа, 2. Определение множества действительных чисел

5.1. Некоторые алгебраические структуры.

Определение 1. Внутренним законом композиции на непустом множестве М называется отображение Декартова произведения М´M в М. Внутренний закон композиции есть функция, такая, что D(f) = M ´ M, а E(f) Ì M.

Вместо функциональной записи f(a,b) = c алгебраисты пользуются записью со специальным знаком: " + " – в случае аддитивного внутреннего закона композиции (a + b = c); и "  " – в случае мультипликативного внутреннего закона композиции (a  b = c).

Примеры. 1. сложение является в.з.к. на N, Z и Q.

2. Вычитание не является в.з.к. на N, однако является в.з.к. на Z и Q.

3. Возведение в степень – в.з.к. на N.

Определение 2. Говорят, что во множестве М, содержащем, по меньшей мере, 2 различных элемента, введена структура поля, если на множестве М заданы:

Во-первых, внутренний закон композиции " + " со свойствами:

(1–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a + (b + c) = (a + b) + c;

(1–2) " a Î M; " b Î M  a + b = b + a;

(1–3) " a Î M $ 0 Î M (0 + a = a);

(1–4) " a Î M $ (–a) Î M (a + (–a) = 0).

Во-вторых, внутренний закон композиции "  " со свойствами:

(2–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a  (b  c) = (a  b)  c;

(2–2) " a Î M; " b Î M  a  b = b  a;

(2–3) " a Î M $ 1 Î M (1 ¹ 0; 1  a = a);

(2–4) " a Î M a ¹ 1 $ 1/a Î M (a  (1/a) = 1);

(2–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a  (b + c) = a  b + ac.

Пятерку (M; + ;  ; 0; 1) называют ПОЛЕМ, а множество М – носителем структуры поля.

Структура поля – объект рассмотрения алгебры. В курсе алгебры, например, установлена единственность 0 и 1. Мы будем предполагать известными свойства, вытекающие из (1–1) – (1–4) и (2–1) – (2–5).

Множество Q есть носитель структуры поля.

Поскольку 1 принадлежит носителю М структуры поля и 1 + 1 Î М, то множество натуральных чисел N содержится в М.

Определение 3. Говорят, что во множестве М, содержащем 2 различных элемента 0 и 1, введена структура упорядоченного поля, если на множестве М введена структура поля и, кроме того, задано унарное отношение "быть положительным" со свойствами:

(3–1) " a Î M имеет место одно и только одно из соотношений: a = 0; a > 0; (–a) > 0.

(3–2) " a Î M; " b Î M ((a > 0) и (b > 0)) Þ (a + b > 0; a  b > 0).

Определение 4. Говорят, что во множестве М É {0; 1}, 0 ¹ 1, введена структура архимедовски упорядоченного поля, если на М введена структура упорядоченного поля и, кроме того:

(4–1) " a Î M; (" b Î M; b > 0) $ n Î N   n b – a > 0.

Множество Q рациональных чисел является носителем структуры архимедовски упорядоченного поля.

5.2. Полное архимедовски упорядоченное поле.

Определение.  Последовательностью элементов непустого множества М называют отображение  N  в М.

Пусть М – носитель структуры упорядоченного поля.

Элемент а₀ Î M называется пределом последовательности элементов из М (a₁; a₂; ...; a_n; ... ), если " 0 < e Î M можно указать p Î N, такое, что для всех n ³ p будет выполняться неравенство |a_n – a₀| £ e.

Если последовательность элементов из М имеет предел, то ее называют сходящейся в М.

Последовательность (a_n) элементов носителя М структуры упорядоченного поля называется фундаментальной, если

(" 0 < e Î М $ p Î N ((" m Î N; " n Î N; m ³ p; n ³ p) Þ |a_m – a_n| £ e).

Определение 5. Говорят, что во множестве М, содержащем, по меньшей мере, 2 различных элемента, введена структура полного архимедовски упорядоченного поля, если М обладает структурой архимедовски упорядоченного поля и, кроме того:

(5–1) любая фундаментальная последовательность элементов из М сходится в М.

Множество Q рациональных чисел не является носителем структуры полного архимедовски упорядоченного поля, поскольку, как показано в §4, не всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится в Q.

5.3. Определение множества действительных чисел.

Определение. Множеством действительных чисел называется любой непустой носитель структуры полного архимедовски упорядоченного поля.

Определение. Множеством действительных чисел называется любое множество М, содержащее, по меньшей мере, два различных элемента, и в котором могут быть заданы,

во-первых, внутренний закон композиции " + " со свойствами:

(1–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a + (b + c) = (a + b) + c;

(1–2) " a Î M; " b Î M  a + b = b + a;

(1–3) " a Î M $ 0 Î M (0 + a = a);

(1–4) " a Î M $ (–a) Î M (a + (–a) = 0);