Фундамент анализа. Определение множества действительных чисел, страница 2

во-вторых, внутренний закон композиции "  " со свойствами:

(2–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a  (b  c) = (a  b)  c;

(2–2) " a Î M; " b Î M  a  b = b  a;

(2–3) " a Î M $ 1 Î M (1 ¹ 0; 1  a = a);

(2–4) " a Î M a ¹ 1 $ 1/a Î M (a  (1/a) = 1);

(2–1) " a Î M; " b Î M; " c Î M  a  (b + c) = a  b + ac;

в-третьих, унарное отношение "быть положительным" со свойствами:

(3–1) " a Î M имеет место одно и только одно из соотношений: a = 0; a > 0; (–a) > 0;

(3–2) " a Î M; " b Î M ((a > 0) и (b > 0)) Þ (a + b > 0; a  b > 0);

в-четвертых,

(4–1) " a Î M; (" b Î M; b > 0) $ n Î N такое, что n b – a > 0;

в-пятых,

(5–1) любая фундаментальная последовательность элементов из М сходится в М.

5.4. Виды определений.

По схеме Аристотеля: путем указания ближайшего рода и видового отличия.

Пример. Функцией называется бинарное отношение, однозначное по второй координате. Здесь "бинарное отношение" – ближайший род, а "однозначное по второй координате" – видовое отличие.

Прямые и описательные определения.

Пример прямого определения: упорядоченной парой называется множество {a; {a,b}}.

Примеры описательных определений:

1.  D(f) = {xÎX | $ y Î Y (x; y) Î U_f}.

2.  Определение множества действительных чисел.

Описательное определение содержательно лишь тогда, когда описываемое множество непусто, поэтому после введения описательного определения должно следовать доказательство существования определенного объекта.

После описательного определения множества действительных чисел мы можем подкорректировать в новых терминах формулировку задачи, поставленной в § 4:

Наша задача состоит в том, чтобы указать непустое множество, на котором может быть введена структура полного архимедовски упорядоченного поля. Множества N, Z, Q для этого не подходят.

5.5. Структура поля во множестве последовательностей рациональных чисел.

Назовем суммой двух последовательностей (a_n) и (b_n) рациональных чисел последовательность (a_n + b_n):

(1)  (a_n) + (b_n) = (a_n + b_n).

Пример. (1) + (1/n) = (1; 1; 1; ...) + (1; 1/2; 1/3; ...) = (2; 1,5; ... ; 1+1/n; ...) = ((n+1)/n).

Поскольку (a_n + b_n) есть последовательность рациональных чисел, то правилом (1) задан в.з.к. " + ".

Очевидно, он обладает свойствами (1–1) – (1–4), так как ими обладают и ее члены.

(2)  (a_n)  (b_n) = (a_nb_n).

Правилом (2) на множестве последовательностей рациональных чисел задан в.з.к. со свойствами (2–1) – (2–5).

Т.о. во множестве последовательностей рациональных чисел введена структура поля.

5.6. Структура архимедовски упорядоченного поля во множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Правилами (1), (2) может быть введена структура поля во множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Для этого достаточно убедиться, что сумма, разность, произведение и частное двух фундаментальных последовательностей является фундаментальной последовательностью.

Докажем это для суммы: пусть (a_n) и (b_n) – фундаментальные последовательности. По определению фундаментальной последовательности:

" 0 < e Î М $ p₁ Î N ((" m Î N; " n Î N; m ³ p₁; n ³ p₁) Þ |a_m – a_n| £ e/2;

$ p₂ Î N ((" m Î N; " n Î N; m ³ p₂; n ³ p₂) Þ |b_m – b_n| £ e/2.

Возьмем p = max (p₁; p₂). Тогда " n ³ p

|(a_m + b_m) – (a_n + b_n)| = |(a_m – a_n) + (b_m – b_n)| £ |a_m – a_n| + |b_m – b_n| £ e/2 + e/2= e.

Таким образом, сумма (a_n + b_n) двух фундаментальных последовательностей является фундаментальной последовательностью.

Введем во множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел, снабженном структурой поля, унарное отношение "быть положительным". Назовем фундаментальную последовательность рациональных чисел (q_n) положительной, если для нее существует рациональное число m > 0 и натуральное число p такие, что при всех n Î N, n ³ p выполняется неравенство q_n ³ m.           (q_n) > 0 Û $ 0 < m Î Q: $ p Î N ((" n Î N, n ³ p) Þ q_n ³ m).

Выполнимость свойства (3–2) очевидна.

Нулевой последовательностью назовем любую сходящуюся к 0 последовательность. Фундаментальную последовательность (q_n) рациональных чисел назовем отрицательной, если (–q_n) положительна.

Примеры: нулевая (1/n); положительная ((n-1)/n); отрицательная ((1–n)/n).

Можно доказать, что для любой фундаментальной последовательности (q_n) выполняется одно и только одно из трех свойств (3–1): либо (q_n) нулевая, либо (q_n) положительна, либо (q_n) отрицательна.