Математика \ Теория вероятности

События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства, страница 2

Пример. Бросаем игральную кость —дискретное пространство элементарных исходов. . Р (выпадает нечетное количество очков)=

Сделаем следующие предположения:

1. Пространство элементарных исходов —конечно.

2. Все элементарные исходы равновозможны (равновероятны), т.е. . Тогда получим , т.к. слагаемые равны, то имеем , т.е. , где . Рассмотрим некоторые события , где k≤n. Вероятность события А.

o Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных исходов: .

Это классическое определение вероятности.

Примеры:

1. Бросается игральная кость. Какова вероятность выпадения нечетного числа очков?

, n=6; , k=3; .

2. Бросаются две монеты. Какова вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб?

, , .

3. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи?

, n=36;

, k=6;

§4. Элементы комбинаторики.

Лемма 1. Из m элементов а₁,…,а_m первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (а_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Доказательство:

Всего имеем m∙n пар.

Пример. В колоде 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт. Итого n=4∙9=36.

Лемма 2. Из n₁ элементов первой группы a₁, а₂,…, а_n₁,

n₂элементов второй группы b₁, b₂,…, b_n₂,

n₃ элементов k-ой группы x₁, x₂,…, x_nk

можно составить ровно n₁∙ n₂∙…∙n_kразличных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы.

1. При k=2 утверждение выполняется (Лемма 1).

2. Предположим, что Лемма 2 выполняется для k. Докажем для k+1 группы элементов . Рассмотрим комбинацию как и . Предположение дает возможность вычислить число комбинаций из k элементов, их n₁ n₂ n_k. По Лемме 1 число комбинаций из k+1 элементов n₁ n₂… n_k₊₁.

Пример. При бросании двух игральных костей N=6∙6=36. При бросании трех костей N=6∙6∙6=216.

Леммы 1 и 2 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов a₁, a₂ ,a_n. Будем рассматривать выборку объема k из n элементов. Все выборки можно классифицировать по 2 признакам:

1. упорядоченные и неупорядоченные.

2. с возвращением и без возращения.

Если выборка упорядоченная, то выборки с одним и тем же составом выбранных элементов, но разным порядком элементов в выборках, считаются различными.

Если выборка считается неупорядоченной, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример. Возьмем множество из трех элементов {1,2,3}. Выбираем k=2.

(1,1);(1,2);(1,3);

(2,1);(2,2);(2,3);

(3,1);(3,2);(3,3);

(1,1);(1,2);(1,3);

(2,2);(2,3);

(3,3);

С возвращением

(1,2);(1,3);

(2,1);(2,3);

(3,1);(3,2);

(1,2);(1,3);

(2,3);

Без возвращения

упорядоченная

неупорядоченная

выборка

Составим общую таблицу числа выборок:

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Упорядоченная выборка с возвращением ). Каждый элемент выборки может принимать n значений, т.е. число выборок . Упорядоченная выборка без возвращения .

o Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением. Число размещений .

Пример. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

n=11³.

, .

o Перестановкой из k элементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке.

P_k-число перестановок из k элементов. , поскольку 0!=1.

o Произвольное k-элементное подмножество множества n элементов называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через .

. , где .

Свойства сочетаний:

1. .

2. .

3. .

4. .

1 2

Скачать файл