Математика \ Теория вероятности

Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения ДСВ. Непрерывные случайные величины. Квантили и процентили, страница 2

Следствие: .

4.6. Плотность вероятности и ее свойства.

О.4.6. Плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения.

Свойства :

1. .

►Т.к. – неубывающая функция, то

◄

Это свойство означает, что график функции лежит не ниже оси .

►◄

3. Функция распределения выражается через плотность вероятности как .

►.◄

4. Условие нормировки .

►◄

Условие нормировки означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченна сверху графиком функции , снизу осью .

5. Вероятность конкретного значения .

►

Отсюда . Тогда .◄

Произведение есть площадь прямоугольника со сторонами и . Чем больше значение площади, тем больше плотность.

4.7. Квантили и процентили.

Пусть СВ x имеет функцию распределения . Функция ставит произвольному действительному числу вероятность , т. е. . Иногда приходится решать обратную задачу: по заданному значению найти такое действительное число , для которого .

О.4.7. Число называется квантилью, если для него выполняется условие .

Из определения НСВ x следует, что ее функция распределения так же непрерывна. Поэтому для НСВ число является решением уравнения .

Пример. Найти квантиль, соответствующую вероятности 1/5 для функции .

Решение.

Так как , то . Подставляя, имеем . Отсюда .

Так как , то .

Квантиль, которая соответствует значению называется медианой:

Например, . Отсюда . Тогда – медиана.

Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилью или процентной точкой.

Например, р% = 50%

В таблицах по математической статистике (Большов-Смирнов) заданы процентные точки и соответствующие им квантили. Наиболее часто используются квантили, которые соответствуют вероятности р = 0,01; 0,05; 0,1 (1%, 5%, 10%).

4.8. Математическое ожидание. Мода. Медиана.

О.4.8. Математическим ожиданием ДСВ x называется число , где – возможные значения СВ, – соответствующие вероятности.

Если ряд сходится, математическое ожидание существует. В противном случае – нет.

Математическим ожиданиемНСВ называется число .

Если интеграл абсолютно сходится, то математическое ожидание существует. В противном случае – нет.

Пример. Пусть СВ x принимает значения и пусть встречается раз, …, встречается раз. Тогда и среднее значение

Итак, для ДСВ стремится к Мx, поэтому можно говорить о том, что Мx характеризует среднее значение СВ x.

Свойства математического ожидания Мx:

1. Если x = const = c, то Mc = C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .

3. Математическое ожидание от суммы СВ равно сумме математических ожиданий

4. Если СВ и независимы, то

5. Если значения СВ попадают в интервал [a;b], то

6. Если СВ h = j(x), то

Примеры.

· Дискретная случайная величина x задана рядом распределения. Найти математическое ожидание.

Решение.

Мx	-1	0	1
Р	0,2	0,5	0,3

Мx = -1*0,2 + 0*0,5 + 1*0,3 = -0,2 + 0,3 = 0,1

· Вычислить математическое ожидание непрерывной случайной величины, заданной плотностью вероятности

Решение.

О.4.9. Модой (Моx) случайной величины x называется ее наиболее вероятностное значение.

В случае если x - ДСВ, то Моx - значение СВ с наибольшей вероятностью. Если x - НСВ, то Моx - точка максимума плотности вероятности Р(х).

О.4.10. Медианой СВ x называется такое ее значение , для которого вероятность того, что равна 0,5.

В случае ДСВ число находится из системы уравнений

Пример. Найти моду и медиану СВ, заданной рядом распределения:

Моx = 0 Меx = 0

Р(x³0) = Р(x=0) + Р(x=1) = 0,5 + 0,3 = 0,8³0,5

Р(x£0) = Р(x=-1) + Р(x=0) = 0,2 + 0,5 = 0,7³0,5

4.9. Дисперсия СВ и ее свойства.

Математическое ожидание, мода, медиана являются характеристиками положения СВ. При проведении конкретных исследований или измерений полученные результаты практически всегда отличаются от средней. Важно знать, насколько возможно отклонение практического результата от математического ожидания. Для этого вводится другая числовая характеристика, которая характеризует меру разброса значений СВ около математического ожидания.

О.4.11. Дисперсией СВ x называется число .