Основные распределения теории вероятностей

ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Биноминальное распределение

           Говорят, что СВ x имеет биноминальное распределение, если ее возможные значения 0,1,2,…,n , а соответствующие вероятности

            Пример. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти закон распределения числа попаданий в мишень.

            Случайная величина x - число попаданий в мишень. Ряд распределения имеет вид

x	0	1	2	3	4
Р	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401

р = 0,7,  n = 4, q = 0,3

Найдем числовые характеристики.

Пусть  – число наступлений события  в -том испытании.

Значения	0	1
Вероятности	q	p

 – независимые СВ, при этом .

Математическое ожидание

.

Дисперсия

 

Распределение Пуассона

            Говорят, что СВ x имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,…,n , и соответствующие вероятности  , где  - параметр распределения.

Найдем

            Распределение Пуассона широко используется в приложениях, особенно в теории массового обслуживания (число вызовов скорой помощи, число приходов посетителей в магазины).

            Пример. Механизм включает в себя большое количество независимо работающих элементов с одинаковой вероятностью их отказа. Найти среднее число l отказов элементов, если вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

 

Значит, среднее число отказавших элементов примерно равно 4.

Математическое ожидание

.

Дисперсия

Геометрическое распределение

            Говорят, что СВ x имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 0,1,2,…,n  с вероятностями     

  

           Пример. Производится стрельба по мишени до первого попадания. Построить ряд распределения числа промахов, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна р.

           Случайная величина  x – число промахов до первого попадания.

x	0	1	2	3	…
р	p	pq	q2p	q3p	…

Математическое ожидание

Поскольку члены ряда  являются производными соответствующих членов ряда  и , то

Следовательно,

Дисперсия

            Геометрическое распределение +1  возникает при решении задач следующего типа.

            Пример. Производится стрельба по мишени до первого попадания. Случайная величина  - число израсходованных патронов до первого попадания. Найти закон распределения.

h	1	2	3	…
Р	р	qp	q2p	…

Математическое ожидание

Дисперсия

Равномерное распределение

           Говорят, что СВ x имеет равномерное распределение на отрезке [a; b] если ее плотность вероятности имеет вид:

.

Найдем функцию распределения:

,

,

.

Тогда

           Равномерное распределение имеют СВ, которые характеризуют ошибки измерения с помощью инструментов с редкими делениями (когда значение округляется до ближайшего целого: при измерении расстояния между городами).

           Математическое ожидание

            Дисперсия

Показательное распределение

           Говорят, что СВ x имеет показательное распределение с параметром l, если плотность вероятности имеет вид:

Найдем функцию распределения:

Тогда

           Показательное распределение имеют СВ, характеризующие время работы электрической лампочки или интенсивность обслуживания клиентов одним мастером.

           Математическое ожидание

.

Применяем формулу интегрирования по частям:

.

Полагаем  .

Тогда

            Дисперсия

Дважды интегрируя по частям:

Нормальное распределение

Говорят, что СВ x имеет нормальное распределение с параметрами , если плотность вероятности x имеет вид:  , хÎR. Если ,  , то   и СВ x называется стандартной нормально распределенной. 

           Функция распределения:

 

Получим , где  - интегральная функция Лапласа

Значит, функцию распределения можно найти по таблице значений .

Если  и , то .

Математическое ожидание

Дисперсия