Монотонные последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Сходимость монотонной ограниченной последовательности в R

Страницы работы

Содержание работы

§ 11. Монотонные последовательности

11.1 Виды монотонных последовательностей.

Определение. Последовательность (xn) действительных чисел называется возрастающей, если " nÎN xn £xn+1; строго возрастающей, если " nÎN xn < xn+1; убывающей, если " nÎN xn ³xn+1; строго убывающей, если " nÎN xn >xn+1.

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие последовательности – строго монотонными.

Монотонные последовательности

Возрастающие

Убывающие

строго возрастающие

строго убывающие

В настоящем параграфе монотонные последовательности рассмотрим отдельно потом­у, что для них вопрос о сходимости разрешается особенно просто.

11.2 Лемма о вложенных отрезках.

Основная операция математического анализа – предельный переход - базируется на свойстве полноты множества действительных чисел: любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R.

Напоминание. (xn) – фундаментальная последовательность, если " e > 0 $ p Î N (" m Î N, " n Î N, m ³ p, n ³ p) Þ | xm xn | £ e.

Наглядным выражением свойства полноты множества действительных чисел (непрерывности числовой прямой) служит, так называемая

Лемма (о вложенных отрезках).

Пусть последовательность отрезков Dn = [an; bn] удовлетворяет двум условиям:

1) " n Î N  Dn É Dn+1;

2) lim (bn – an) = 0.

Тогда существует единственная точка C, принадлежащая всем отрезкам Dn, то есть lim an = lim bn = C.

      

a1

a2

a3

b3

b2

b1

1) Из условия теоремы следует, что a1 £ a2 £ a3 £ … £ b3 £ b2 £ b1         (1)

2) Второе условие теоремы означает, что lim | D n | = 0. Следовательно, " e > 0 $ p Î N такой, что " n ³ p bn – an £ e        (2)

ap

an

am

bp

Из (1) и (2) следует, что  " m ³ p и " n ³ p |an – am| £ e.

Так как e > 0 произвольно, то последнее означает, что последовательность (an) фундаментальна. В силу свойства полноты множества действительных чисел она сходится в R, то есть существует действительное число C1, такое, что lim am = C1             (3).

Аналогично устанавливается, что (bn) – фундаментальная последовательность n, в силу полноты R,

               lim bn = C2.         (4)

    2)

 

  п. 10.2

 
Докажем, что C1 = C2. Рассмотрим разность C1 – C2. В силу (3) и (4) С1 – С2 = lim an – lim bn     =     lim (an – bn) =  0;

C1 – C2 = 0 Þ C1 = C2  .

11.3 Сходимость монотонной ограниченной последовательности в R.

Теорема (Вейерштрасса). Если последовательность действительных чисел монотонна и ограничена, то она сходится в R.

* Шаг 1. Если последовательность (xn) принимает конечное число различных значений, то, начиная с некоторого p, все xn = xp и, значит, xp = lim xn.

Шаг 2.Пусть (xn) принимает бесконечное число различных значений. Для определенности предположим, что она возрастает, то есть " n Î N xn £ xn+1. По условию, (xn) ограничена: $ M > 0 (" n Î N |xn| £ M), то есть xn Î [ – M ; M].

– M

0

         M

Похожие материалы

Информация о работе