Математика \ Математический анализ

Ответы на контрольные задания по теме: "Векторные поля"

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

Векторные поля

Ответ: 1

В евклидовом пространстве (т.е. на пространстве со скалярным произведением) каждой линейной функции может быть взаимно однозначно сопоставлен вектор. В частности, если $\alpha$ -- 1-форма на евклидовом пространстве, то ей отвечает вектор $\mathbf{a}$ такой, что

$\displaystyle \alpha ( \mathbf{b})= \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\,,\qquad \forall \mathbf{b}\,.$

Градиентом функции называется векторное поле, которое по описанному правилу соответствует дифференциалу функции:

$\displaystyle df ( \mathbf{b})= \mathrm{grad\,}f\cdot \mathbf{b}\,, \qquad \forall \mathbf{b}\,.$

Выбирая здесь в качестве $\mathbf{b}$ базисные векторы $\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k}$ найдем, что в декартовых координатах

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)\,.$

Ответ: 2

Ротор векторного поля может быть определен только в трехмерном евклидовом пространстве. В декартовых координатах ротор векторного поля $\mathbf{F}= (P,Q,R)$ может быть получен по формуле

$\displaystyle \mathrm{rot } \mathbf{F}= \begin{vmatrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&... ...al x}, \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{ \partial y} \right) .$

Инвариантно ротор может быть описан благодаря формуле Стокса, откуда

$\displaystyle (\mathrm{rot } \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}) (M) = \lim_{\Gamma\to... ...c{\oint\limits_{\partial\Gamma} \mathbf{F}\cdot \boldsymbol{dl}}{S (\Gamma)} .$

Здесь $\Gamma$ -- кусок поверхности, стягивающийся к точке , $S (\Gamma)$ -- площадь $\Gamma$ , $\mathbf{n}$ -- единичный вектор нормали к поверхности $\Gamma$ , определяющий ее ориентацию. Таким образом, поверхностная плотность циркуляции поля по бесконечно малой окружности равна проекции ротора на нормаль к данной окружности (физический смысл ротора).

Ротор также может быть описан на языке форм. Если $\mathcal{F}= P dx+Q dy+R dz$ -- 1-форма, отвечающая вектору $\mathbf{F}$ , то ее внешний дифференциал даст форму потока ротора:

$\displaystyle \imath_{\mathrm{rot\,} \mathbf{F}}\Omega=d \mathcal{F}\,, \qquad\Omega=dx\wedge dy\wedge dz\,,$

-- координаты $d \mathcal{F}$ в базисе $dy\wedge dz, dz\wedge dx, dx\wedge dy$ совпадают с координатами ротора.

Ответ: 3

В декартовых координатах дивергенция векторного поля $\mathbf{F}= (P,Q,R)$ определяется как функция

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}= \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}\,.$

Инвариантное определение дивергенции вытекает из формулы Гаусса-Остроградского, откуда

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F} (M)= \lim_{\Gamma\to M}\frac{\iint\limits_{\partial\Gamma} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS}{V (\Gamma)}\,.$

Здесь $\Gamma$ -- связная область с гладкой границей, стягивающаяся к точке , $V (\Gamma)$ -- объем $\Gamma$ , $\mathbf{n}$ -- единичный вектор внешней нормали к границе области $\Gamma$ . Таким образом, дивергенция это объемная плотность потока вектора через границу области (физический смысл).

Дивергенция может быть охарактеризована также на языке форм. Внутреннее

произведение вектора $\mathbf{F}$ на форму объема $\Omega=dx\wedge dy\wedge dz$ превращает вектор $\mathbf{F}$ в 2-форму -- форму потока вектора $\mathbf{F}$ . Ее внешний дифференциал есть 3-форма, пропорциональная форме $\Omega$ . Коэффициент пропорциональности и есть дивергенция:

$\displaystyle d \imath_{\mathbf{F}}\Omega =d (P\,dy\wedge dz+Q\, dz\wedge dx+ R\,dx\wedge dy) = \mathrm{div\,} \mathbf{F}\cdot\Omega\,.$

Ответ: 4

Оператор Лапласа функции нескольких переменных определяется равенством

$\displaystyle \Delta f= \mathrm{div\,grad\,}f\,.$

В декартовых координатах в случае функции трех переменных

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\pa... ... P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}\,,$

откуда

$\displaystyle \Delta f= \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}+ \frac{\partial^{2}f}{ \partial z^{2}}\,.$

Ответ: 5

Оператор Гамильтона набла $\nabla$ является векторнозначным дифференциальным оператором вида

$\displaystyle \nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z} \right)\,.$

Он определен только для случая декартовых координат, но в этом случае представляет удобную символическую технику вычисления. Например, стандартные операции векторного анализа при помощи набла запишутся в виде

$\displaystyle \mathrm{grad\,}f$	$\displaystyle = \nabla f\,,$
$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}$	$\displaystyle = \nabla\cdot \mathbf{F}\,,$
$\displaystyle \mathrm{rot\,} \mathbf{F}$	$\displaystyle = \nabla\times \mathbf{F}\,,$
$\displaystyle \Delta f$	$\displaystyle = \nabla^{2}f\,,$
$\displaystyle \mathrm{div\,rot\,} \mathbf{F}$	$\displaystyle = \nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{F})=0\,,$
$\displaystyle \mathrm{rot\,grad\,}f$	$\displaystyle = \nabla\times\nabla f= \mathbf{0}\,.$

Для удобства вычислений играет важную роль тот факт, что как всякое дифференцирование оператор набла подчиняется правилу Лейбница дифференцирования произведений. Например,

$\displaystyle \mathrm{div\,} (f \mathbf{F})=\nabla \cdot(f \mathbf{F})= \nabla ... ...ot \mathbf{F}= \mathrm{grad\,}f\cdot \mathbf{F}+ f \mathrm{div\,} \mathbf{F}\,.$

Ответ: 6

Если функция $\Theta$ определяет замену переменных $\mathbf{x}=\Theta (\mathbf{u})$ в пространстве, то векторы-столбцы матрицы Якоби $\Theta'$ :

$\displaystyle \frac{\partial \Theta}{\partial u_{1}}\,,\ldots \frac{\partial \Theta}{\partial u_{n}}\,,$

имеют смысл скоростей координатных кривых (в пространстве $\mathbf{x}$ -ов) криволинейных координат $\mathbf{u}=(u_{1},\ldots u_{n})$ . Если эти векторы (в каждой точке) ортогональны между собой, то криволинейные координаты $(u_{1},\ldots u_{n})$ называются ортогональными. В этом случае длины упомянутых векторов-скоростей называются коэффициентами Ламе:

$\displaystyle h_{i}= \left\vert \frac{\partial \Theta}{\partial u_{i}} \right\v... ...ight)^{2}+ \ldots +\left( \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{i}}\right)^{2}} \,.$

В частности,

$\displaystyle \vert\det\Theta'\vert=h_{1}\cdot\ldots\cdot h_{n}\,.$

В случае сферической системы координат

$\displaystyle x=r\cos\varphi\sin\theta\,,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta\,,\quad z=r\cos\theta\,,$

откуда

$\displaystyle h_{r}$	$\displaystyle =\vert (cos\varphi\sin\theta,\sin\varphi\sin\theta,\cos\theta)\vert=1\,,$
$\displaystyle h_{\theta}$	$\displaystyle =\vert (r\cos\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\cos\theta, -r\sin\theta)\vert=r\,,$
$\displaystyle h_{\varphi}$	$\displaystyle =\vert (-r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi\sin\theta,0)\vert =r\sin\theta\,.$

Ответ: 7

Пусть отображение $\theta$ определяет замену переменных $(x_{1},x_{2},x_{3}) =\theta (u_{1},u_{2},u_{3})$ и криволинейные координаты $(u_{1},u_{2}, u_{3})$ ортогональны. Обозначим коэффициенты Ламе через $h_{i}$ :

$\displaystyle h_{i}= \left\vert \frac{\partial \theta}{\partial u_{i}}\right\vert .$

Векторы

$\displaystyle \mathbf{s}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\, \frac{\partial \theta}{\partial u_{i}}\,,\qquad i=1,2,3,$

образуют (в каждой точке) ортонормированный базис. Дуальные к ним базисные формы будут $\sigma_{i}=h_{i} du_{i}$ . Поэтому

$\displaystyle df (\mathbf{u})=\sum \frac{\partial f}{\partial u_{i}} du_{i}= \... ...,}f=\sum \frac{1}{h_{i}} \frac{\partial f}{\partial u_{i}} \mathbf{s}_{i} .$

Далее, $\Omega=\sigma_{1}\wedge\sigma_{2} \wedge\sigma_{3}= h_{1}h_{2} h_{3}\,du_{1}\wedge du_{2} \wedge du_{3}$ и $\imath_{\mathbf{F}}\Omega=F_{1}\,\sigma_{2}\wedge\sigma_{3}+ F_{2}\,\sigma_{3}\wedge\sigma_{1}+F_{3}\, \sigma_{1}\wedge\sigma_{2}$ , откуда

$\displaystyle d (\imath_{\mathbf{F}}\Omega)=\left(\frac{\partial ( F_{1} h_{2}h... ...ght)\,du_{1}\wedge du_{2} \wedge du_{3}=\mathrm{div\,} \mathbf{F}\cdot\Omega\,,$

следовательно,

$\displaystyle \mathrm{div\,} \mathbf{F}= \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum \frac{\partial }{\partial u_{i}} \left( \frac{h_{1}h_{2} h_{3}}{h_{i}} F_{i}\right)$

и, в силу $\Delta f= \mathrm{div grad }f$ ,

$\displaystyle \Delta f=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum \frac{\partial }{\partial... ...frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}} \, \frac{\partial f}{\partial u_{i}}\right)\,.$

Ответ: 8

Поле $\mathbf{F}$ называется потенциальным, если его ротор равен нулю: $\mathrm{rot\,} \mathbf{F}= \mathbf{0}$ . Например, поле градиента является потенциальным: $\mathrm{rot\,grad\,}f= \mathbf{0}$ . Локально верно и обратное, при этом функция называется потенциалом поля $\mathbf{F}$ , если $\mathbf{F}= \mathrm{grad\,}f$ . Потенциал определен неоднозначно.

Если $\mathcal{F}$ -- 1-форма, соответствующая полю $\mathbf{F}$ (т.е. $\mathcal{F}=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ при условии, что $\mathbf{F}= (P,Q,R)$ ), то потенциальность поля $\mathbf{F}$ эквивалентна замкнутости формы $\mathcal{F}$ : $d \mathcal{F}=0$ . Замкнутые формы локально точны (т.е. являются дифференциалами функций) и их потенциал в окрестности произвольной точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ из области определения можно найти по формуле

$\displaystyle f (x,y,z)= \int\limits_{(x_{0},y_{0},z_{0})}^{(x,y,z)} \mathcal{F}\,,$

где путь, соединяющий точки, можно выбирать произвольно в окрестности рассматриваемой точки. Функция будет одновременно являться потенциалом поля $\mathbf{F}$ (в окрестности рассматриваемой точки).

Ответ: 9

Поле $\mathbf{F}$ называется соленоидальным, если его дивергенция равна нулю: $\mathrm{div\,} \mathbf{F}=0$ . Поле ротора является соленоидальным: $\mathrm{div\,rot\,} \mathbf{G}=0$ . Локально верно и обратное, при этом, если $\mathbf{F}= \mathrm{rot\,} \mathbf{G}$ , поле $\mathbf{G}$ называется векторным потенциалом поля $\mathbf{F}$ . Потенциал определен неоднозначно.

Пусть $\Omega=dx\wedge dy\wedge dz$ -- стандартная форма объема пространства. Она позволяет полю $\mathbf{F}$ поставить в соответствие 2-форму потока этого поля:

$\displaystyle \varphi=\imath_{\mathbf{F}}\Omega=P\,dy\wedge dz+ Q\,dz\wedge dx+ R\,dx\wedge dy\,,$

где $\mathbf{F}= (P,Q,R)$ . Соленоидальность поля $\mathbf{F}$ эквивалентна замкнутости формы $\varphi$ : $d\varphi=0$ . Замкнутая форма локально точна, т.е. в окрестности произвольной точки из области определения является дифференциалом 1-формы, называемой ее потенциалом: $\varphi=d\gamma$ . 1-форма $\gamma$ может быть восстановлена по формуле Пуанкаре. В окрестности нуля она имеет вид

$\displaystyle \gamma$	$\displaystyle = \int\limits_{0}^{1}dt\,t [P (tx,ty,tz) (y\,dz-z\,dy)+Q (tx,ty,tz) (z\,dx- x\,dz)+R (tx,ty,tz) (x\,dy-y\,dx)]$
	$\displaystyle = \int\limits_{0}^{1}dt \begin{vmatrix}dx& dy & dz\\ P (tx,ty,tz)& Q (tx,ty,tz)& R (tx,ty,tz)\\ tx& ty& tz \end{vmatrix} \,.$

Векторное поле $\mathbf{G}$ , отвечающее 1-форме $\gamma$ при замене базиса базисом $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ , и будет являться векторным потенциалом поля $\mathbf{F}$ . В окрестности нуля