Основы электрогидродинамики. Система уравнений электрогидродинамики (ЭГД). Условия применимости уравнений ЭГД. Невозмущенное состояние, страница 2

                                                            .

Плотность силы  описывает эффект электрострикции в неоднородной среде (воздействие силы высокочастотного давления, за счет неоднородности электрического поля и за счет частичного учета влияния неоднородности среды). Ниже будет показано, что сила  так же будет учитывать влияние неоднородности среды.

Движение одного иона в однородной среде, но в неоднородном электрическом поле  опишем уравнением

                                                .

Чтобы не загромождать описание, в правой части уравнения выписан только один член. Смещение иона разобьем на две части: , где  описывает медленные движения, а  характеризует быстрые движения,  - частота быстрых осцилляций. При этом рассматривается ситуация, когда имеет место система неравенств

                                    .

Будем иметь описание быстрого процесса

                                    .

Описание медленного движения получается в результате усреднения по периоду высокочастотных колебаний уравнения :

                                    .

Учтем возможность разложения в ряд Тейлора

                                   

Произведя усреднение по периоду высокочастотных колебаний, получим описание медленного движения

                        ,

где учтено, что . Таким образом, имеем представление для плотности силы электрострикции

в однородной электропроводящей среде при наличии неоднородного электрического поля.

В случае плазмы, при описании быстрых процессов (движение ионов пренебрежимо мало) в формуле для   следует сделать замену , соответствующая сила называется силой Миллера М.А. (1958 г.).

Если исходить из приближения ионных плазменных колебаний, то , где ,(здесь введено обозначение ). В результате получаем другую форму описания силы электрострикции в случае однородной среды для задач электрогидродинамики

                                                .

В неоднородной среде имеет место обобщение этой формулы (вывод этой формулы делать не будем)

                                                .

Сила электрострикции имеет потенциальный характер, она приводит к уменьшению давления (уменьшению концентрации заряженных частиц в области больших значений поля ).

            Влияние неоднородной среды приводит к возникновению еще дополнительной нелинейной силы . Приведем без обоснования ее представление

                                                .

16.2. Условия применимости уравнений ЭГД. Основным условием применимости уравнений ЭГД является допущение о пренебрежении влиянием магнитного поля:

                                                .                                                (16.1)

При этом в законе Ома для медленных процессов  сделаем пренебрежение вторым слагаемым в правой части равенства. Это допустимо делать при выполнении условия

                                                .                                                    (16.2)

Из уравнения Максвелла  следует оценка магнитного поля

                                                ,                                                     (16.3)

где  характерный пространственный масштаб изменения полей. В результате, на основе (16.2), (16.3) получаем условие

                                                ,

где  - магнитное число Рейнольдса. В качестве примера  возьмем параметры . Получаем условие на скорость движения среды .

Соотношение (16.1) при учете (16.3) приводят к условию

                                    ,        ,

или к дополнительному ограничению на магнитное число Рейнольдса

                                                .

Рассмотрим пример , в такой ситуации условие на электропроводность принимает вид .

            Уравнение Максвелла можно записать в другой, эквивалентной форме

                                                .

Сделаем оценку на основе представления , справедливого для сред без дисперсии в линейном приближении.

                                    ,

где  - характерное время изменения полей. С учетом (16.1) получаем неравенство

                                                .

Для рассмотренного выше примера имеем