Основные вопросы экзамена по дисциплине "Высшая математика" (Ряд Фурье. Задача Штурма-Лиувилля. Уравнение Якоби, сопряженные точки)

Ряд Фурье.

1.  Как найти коэффициенты равномерно сходящегося тригонометрического ряда Фурье, записанного в комплексной форме?

2.  Как найти коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, записанного в вещественной форме?

3.  Что такое коэффициенты Фурье функции по заданной ортонормированной системе? Сформулируйте и поясните теорему о проекции.

4.  Что такое ряд Фурье на множестве 2-n-периодических функций? Дайте формулы для вычисления коэффициентов Фурье.

5.  Как разложить функцию, заданную на интервале(0,n), в ряд по косинусам кратных дуг? по синусам?

6.  Дайте определение свертки периодических функций.

7.  Как найти коэффициенты Фурье свертки?

8.  Что такое передаточная функция в теории обработки радиосигналов? Объясните, почему не существует идеального фильтра.

9.  Сформулируйте теорему Дирихле для непрерывно дифференцируемых функций.

10.  Что такое сходимость рядов Фурье в среднеквадратичном?

11.  Что такое равенство Парсевалля и что оно означает относительно сходимости рядов Фурье в среднеквадратичном?

12.  Как найти коэффициенты Фурье первообразной функции с нулевым средним?

13.  Что утверждает лемма Римана-Лебега? Что она означает относительно коэффициентов Фурье?

14.  Что представляет собой ряд Фурье производной?

15.  Какова связь между гладкостью функции и скорость убывания коэффициентов Фурье?

Задача Штурма-Лиувилля

1.  В чем состоит регулярная задача Штурма-Лиувилля? Что такое собственные функции и собственные значения такой задачи?

2.  Перечислите основные свойства системы собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Интеграл Фурье

1.  Что такое преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции? Перечислите свойства преобразования Фурье.

2.  Дайте формулу обращения преобразования Фурье.

3.  Как найти преобразование Фурье производной?

4.  Как найти преобразование Фурье произведения функции на аргумент?

5.  Какова связь между гладкостью преобразований Фурье и быстротой убывания функций?

6.  Дайте определение свертки функций на оси. Чему равно преобразование Фурье свертки?

7.  Что такое гауссова плотность? Чему равно преобразование Фурье гауссовой плотности?

Метод характеристик для уравнений в частных производных

1.  Опишите метод характеристик для линейных уравнений 1-ого порядка.

2.  Выпишите уравнения для характеристик уравнения Лиувилля.

Дифференциальная геометрия поверхностей

1.  Что такое первая квадратичная форма поверхности?

2.  Дайте пример первой квадратичной формы.

3.  Что такое вторая квадратичная форма поверхности?

4.  Дайте пример второй квадратичной формы.

5.  Как вычислить нормальную кривизну в заданном направлении?

6.  Что такое главные кривизны?

7.  Что такое средняя кривизна? Каков ее геометрический смысл?

8.  Что такое полная (гауссова) кривизна? Каков ее геометрический смысл?

Простейшие задачи вариационного исчисления

1.  Что такое интегральный функционал и его "производная по направлению"?

2.  Что такое вариация интегрального функционала?

3.  Сформулируйте основную лемму вариационного исчисления.

4.  Что такое уравнение Эйлера-Лагранжа? Что такое экстремали?

5.  Пусть функция Лагранжа не зависит от переменной . Что представляет собой первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа?

6.  Что такое геодезические?

7.  Что такое естественные граничные условия?

Обобщения, приложения и трансверсальность

1.  Выпишите уравнения Эйлера-Лагранжа в случае нескольких функций.

2.  Сформулируйте принцип наименьшего действия в лагранжевой механике.

3.  Что представляют собой уравнения Эйлера -Лагранжа, если кинетическая энергия равна , а потенциальная ?

4.  Выпишите уравнение Эйлера-Лагранжа для экстремалей двойных интегралов.

5.  Что представляет собой волновое уравнение? Дайте его интерпретацию как уравнения Эйлера-Лагранжа.

6.  Как ставится изопериметрическая задача? В чем состоит рецепт ее решения?

7.  Как ставится задача Лагранжа? В чем состоит рецепт ее решения?

8.  Рассмотрите задачу о геодезических на поверхности как задачу Лагранжа. Как это позволяет охарактеризовать геодезические?

9.  Что такое условие трансверсальности?

10.  Сформулируйте принцип Ферма для геометрической оптики. Что представляет собой трансверсальность в геометрической оптике?

Гамильтонова механика и поля экстремалей

1.  Сформулируйте теорему Нетер.

2.  Прокомментируйте с помощью теоремы Нетер закон сохранения энергии.

3.  Что такое преобразование Лежандра? Что означает, что оно инволютивно?

4.  Что такое уравнения Гамильтона?

5.  Что такое поле экстремалей? Какое поле называется центральным?

6.  Что такое функция поля? Какому дифференциальному уравнению она удовлетворяет?

Уравнение Якоби, сопряженные точки

1.  Дайте определение второй вариации. Что такое уравнение Якоби?

2.  Что такое линеаризация нелинейного уравнения на решении (уравнение в вариациях)? Ее значение?

3.  Чем является линеаризация уравнения Эйлера-Лагранжа на экстремали?

4.  Дайте определение сопряженной точки. Почему экстремаль с сопряженной точкой не может доставлять экстремум функционалу?

5.  Что такое каустика? Как ведут себя экстремали вблизи каустики?

Прямые методы

1.  Дайте вариационное описание наименьшего собственного значения задачи Штурма-Лиувилля.

2.  Дайте вариационное описание общего собственного значения задачи Штурма-Лиувилля.

3.  В чем заключается минимаксное свойство собственных значений?

Изучение фазовых портретов

1.  Что такое фазовый портрет автономной системы дифф. уравнений на плоскости?

2.  Что такое гамильтоновы системы на плоскости? Какие их свойства Вам известны?

3.  Как выглядит фазовый портрет физического маятника?

4.  Перечислите фазовые портреты линейных систем в случае вещественных собственных значений.

5.  Перечислите фазовые портреты линейных систем в случае комплексных собственных значений.

6.  Как может выглядеть фазовый портрет линейной гамильтоновой системы?

7.  Что такое линеаризация системы в окрестности критической (неподвижной) точки?

8.  Перечислите свойства фазовых портретов нелинейной системы в окрестности неподвижной точки?