Магнитостатика. Векторный потенциал в магнитостатике. Потенциал магнитного диполя. Закон Био – Савара – Лапласса

8. Магнитостатика.

Векторный потенциал в магнитостатике. Потенциал магнитного диполя.Потенциал магнитного диполя. Закон Био – Савара – Лапласса.Энергия магнитного поля системы линейных замкнутых контуров с током. Индуктивность. Индуктивность коаксиального кабеля. Магнитостатика в материальных средах.

8.1. Векторный потенциал в магнитостатике. Потенциал магнитного диполя. Закон Био – Савара – Лапласса. В магнитостатике имеют место уравнения

                                                ,                                            (8.1)

                                                             (8.2)

Из (8.1) следует возможность введения векторного потенциала

                                                .

В случае  и  из уравнения (8.2) получается уравнение для векторного потенциала

                                                .

Если вместо вектора  выбрать вектор , то будем иметь . Это свойство векторного потенциала называется градиентной инвариантностью. Используя эту инвариантность уравнение для векторного потенциала можно упростить

                                    .

Выберем функцию  так, чтобы , тогда будем иметь (ниже штрих для простоты написания опустим)

                                                ,                                         (8.3)

                                                .                                            (8.4)

Уравнение (8.3) это векторное уравнение Пуассона.

            В электростатике уравнению Пуассона  удовлетворяло решение в виде суперпозиции (интеграла) вкладов от бесконечного числа точечных источников, если отсутствовали поверхностные заряды

                                                .

Аналогично можно записать решение для :

                                                .                                        (8.5)

Из формулы (8.5) можно получить закон Био – Савара – Лапласа. Покажем это на примере замкнутого тока, протекающего по тонкому проводнику (Рис. 8.1). Будем считать, что расстояние  от точки наблюдения до точек источника удовлетворяет условиям

                                                ,

где  - длина проводника,  - его поперечное сечение. Полный ток в проводнике не зависит от времени (рассматривается статическая ситуация) и не зависит от координат

                                                            .

Преобразуем (8.5)

                        .

Здесь учтено, что на поверхности сечения  в силу условия , расстояние  и направление векторов  можно считать постоянными и вынести за знак интеграла по . Таким образом, получаем формулу для потенциала замкнутого линейного тока

                                                .                                                 (8.6)

            Получим формулу для поля , создаваемого линейным замкнутым током на основе представления (8.6) для векторного потенциала. Меняя местами операции дифференцирования и интегрирования (дифференцирование производится по координатам точки наблюдения, а интегрирование ведется по координатам источника):

                                                .

Используем формулу , где , так как  не зависит от координат точки наблюдения. Имеем

                                                ,

где . Приходим к закону Био - Савара - Лапласса     

                                    ,

где введено обозначение  - поле, создаваемое в точке наблюдения элементом тока длиной . Напомним, что понятие линейного тока пригодно только на больших расстояниях от источника при условии  и это понятие теряет смысл вблизи проводника.

Введем среднее расстояние  от точки наблюдения до контура с током. Так как , то в формуле (8.6) можно использовать разложение

                                                   (8.7)

где  - радиус вектор точки интегрирования на контуре с током,  - угол между векторами  и . Подставляя (8.7) в (8.6), получим

                                    .                  (8.8)

Первое слагаемое в (8.8) для замкнутого контура равно нулю, второе слагаемое является главным и представляет собой потенциал магнитного диполя. На больших расстояниях имеем закономерность . В силу формулы  получаем закон убывания с расстоянием магнитной индукции . Напомним, что электрическое поле замкнутой электронейтральной системы зарядов на больших расстояниях изменяется по закону .

8.2. . Энергия магнитного поля системы линейных замкнутых контуров с током. Индуктивность. Индуктивность коаксиального кабеля. Для энергии магнитного поля имеется представление

                                                .                                          (8.9)

Ниже ограничимся рассмотрением случая  и учтем соотношения

                        .

Формулу (8.9) представим в виде

                                    ,

где согласно формуле Гаусса – Остроградского имеем

                                    .

В качестве объема  возьмем все пространство, тогда  и для магнитной энергии имеем представление

                                    .                                                       (8.10)

Интегрирование здесь производится только по объему источника, где . На основе (8.10) получим выражение для магнитной энергии системы из  линейных контуров с током.

                                    .

Вектор  вынесен из под знака интеграла по , так как для линейных токов  приближенно постоянен на поперечном сечении . Приходим к формуле

                                                .