Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме

4. Граничные условия.Уравнения Максвелла в интегральной форме. Граничные условия.

4.1. Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные условия. Дифференциальные системы уравнений Максвелла для материальных сплошных средв четырех, приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций. На поверхностях разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности. В линейных задачах разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности), разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной переходной областью. Однако это приводит к большому усложнению решения задачи. По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. Переход от дифференциальных уравнений к уравнениям в интегральной форме неоднозначен. «Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде законов сохранения. По сути, это первичные постулаты электродинамики сплошных сред (в рамках теории сплошной среды они ни откуда не выводятся). Из этих уравнений и получаются граничные условия. Отметим, что предельный переход от неоднородной переходной области к резкой границе раздела сред, дает те же граничные условия, что и уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. Это является дополнительным аргументом правильности граничных условий, получаемых из уравнений в интегральной форме.

            Начнем с вывода граничного условия для вектора магнитной индукции . Для этого используем интегральную форму

                                    .                                                     (4.1)

Связь уравнения (4.1) с известным нам дифференциальным уравнением

                                                         (4.2)

можно увидеть, если проинтегрировать (4.2) по объему и использовать формулу Гаусса-Остроградского для перехода к виду (4.1). Применим (4.1)  к цилиндру высотой  (Рис. 4.1) и осью, перпендикулярной к границе раздела двух сред (1) и (2) и «вырезающему» из границы элемент поверхности Поток индукции в (4.1 ) складывается из потока через боковую поверхность (при  этот поток стремится к нулю) и потока индукции через верхнее и нижнее основания цилиндра. Выберем площадь оснований  настолько малой, чтобы компоненты  и  в пределах этих оснований в средах (1) и (2) были бы постоянными. Направления нормалей  на основаниях цилиндра имеют противоположные направления, поэтому имеем ,   и формула (4.1) принимает вид

                                    ,

или                                          .

Это условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора магнитной индукции.

            Получим теперь граничное условие для вектора электрической индукции

                                                  ,                                           

входящий в третью форму уравнений Максвелла            . От дифференциального уравнения

                                                                                                   (4.3)

можно прейти к первичной интегральной форме следующим способом: проинтегрируем (4.3) по объему

                                                .

С учетом формулы Гаусса-Остроградского будем иметь первичную интегральную форму

                                                ,                                     (4.4)

где  - полный свободный заряд внутри объема , ограниченного площадками .

Не следует воспринимать приведенные рассуждения, как вывод уравнения (4.4) из (4.3). На самом деле первичным является уравнение (4.4). Более того: уравнение (4.4) это постулат.

Используем в качестве  поверхность цилиндра, изображенного на Рис.4.1. Действуя аналогично тому, как это делалось при выводе граничного условия для вектора , получим соотношение

                                                ,

где  - плотность свободного поверхностного заряда на границе раздела.

            При получении граничных условий для векторов  и  будем исходить из

уравнений

                                                ,                                                  (4.5)

                                                                                           (4.6)

в соответствующей им первичной интегральной форме. С этой целью выберем прямоугольную площадку , перпендикулярную границе раздела и ограниченную контуром  (Рис.4.2). Направления  ортогональны друг другу.  - нормаль к границе раздела. Вектор - лежит в плоскости границы раздела и вектор  ортогонален площадке . Интегрирование по площади  компонент уравнений (4.5), (4.6) по направлению  и использование формулы Стокса, позволяет перейти к первичной интегральной форме уравнений (4.5), (4.6)

                                                ,                                   (4.7)

                                                .                       (4.8)

Выбирая величину  достаточно малой, и устремляя вертикальный размер  к нулю (при этом площадь  стремится к нулю), будем иметь представления

                                                ,      ,

                        ,            ,

                        ,   ,   ,   ,

получим из (4.7), (4.8) два граничные условия

                                                ,                                   (4.9)

                                    .                     (4.10)

Здесь -плотность поверхностного тока проводимости в направлении . Так как выбор  (и соответственно выбор направления вектора ) произволен, граничное условие (4.9) можно записать в виде

                                                ,

где- произвольное касательное к границе раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить граничное условие (4.10) в векторной форме

                                                ,

где - вектор плотности поверхностного тока проводимости.