Приклади розв'язання задач до контрольної роботи № 3 "Дослідження функцій і побудова їх графіків", страница 2

б)  не існує в точці .

6. Зведемо дані дослідження в таблицю.

		–2		0
	+	0	–	не існує	+
	–	–	–	не існує	–
		–3		не існує
		максимум		– верт. асимптота

7. Будуємо графік функції.

Задача 7.Провести повне дослідження функції  і побудувати її графік.

Розв'язання.  1. Знайдемо область визначення функції.

Таким чином,  .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

;    ;

;    .

Бачимо, що пряма  є горизонтальною асимптотою, а прямі  та  є вертикальними асимптотами.

2. За формою області визначення робимо висновок, що  – функція загального вигляду.

3. Знайдемо похилі асимптоти

,  де  .

.

З цього виходить, що графік функції має лише горизонтальну (з похилих) асимптоту, яку ми визначили раніше ().

4.  .

а)  не дорівнює нулю в жодній точці.

б) Очевидно,  не існує в точках  і , які не належать області визначення функції.

5.  .

а)  – не належить області визначення функції.

б) Очевидно,  не існує в точках  і .

6.  Зведемо одержані результати дослідження в таблицю.

		0	1
	+	не існує	не існує	+
	–	не існує	не існує	+
		не існує	не існує
		– верт. асимптота	– верт. асимптота

7.  Знайдемо точки перетину графіка функції з віссю .

;     ;     ;     ;

;     ;     .

8.  Будуємо графік функції.

Задача 8.  Провести повне дослідження функції  і побудувати її графік.

Розв'язання.  1.Очевидно, областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел, причому

якщо , то ,

якщо , то .

Вертикальних асимптот графік функції, очевидно, не має.

2. ;   – функція загального вигляду.

3. Знайдемо похилі асимптоти

,  де  .

;

.

Таким чином, пряма  є похилою асимптотою графіка функції.

4.

.

а) .

б)  не існує, очевидно, при , або .

Функція має три критичні точки: .

5. 

.

а) не дорівнює нулю в жодній точці.

б)  не існує, очевидно, при  та .

6.  Зведемо одержані результати дослідження в таблицю.

		0				1
	+	не існує	0	0	–	не існує	+
	+	не існує	–	–	–	не існує	–
		0				0
		точка перег.		максимум		мінімум

7.  Будуємо графік функції.

Задача 9.  1. Провести повне дослідження функції  і побудувати її графік.

Розв'язання.  1. Знайдемо область визначення функції.

Таким чином,    .

Очевидно, функція періодична з періодом .

Визначимо поведінку функції, коли аргумент наближається до кінців інтервалів області визначення.

.

Звідси маємо, що прямі  є вертикальними асимптотами.

2.  .

 – функція парна, її графік симетричний відносно осі .

3.  .

а) . Враховуючи область визначення функції, маємо .

б)  не існує в точках , які не належать області визначення функції.

4.  .

а)  не дорівнює нулю в жодній точці.

б)  не існує в точках .

5.  Зведемо одержані дані в таблицю (для відрізку ).

			0
	не існує	+	0	–	не існує
	не існує	–	–	–	не існує
	не існує		0		не існує
	– верт. асимптота		максимум		– верт. асимптота

6.  Будуємо графік функції, враховуючи її періодичність.