Закон, по которому погрешности переходят на результат вычисления функции, заключается в следующем. Пусть имеется функция у = ¦(х1,х2,…), аргументы которой х1, х2, … содержат погрешности Dх1, Dх2,… Погрешности аргументов приводят к погрешности вычисления у согласно уравнению:
(1)
Вычислив погрешность Dу, можно узнать, какие цифры результата вычисления у являются верными и какие сомнительными. Тогда, следуя правилу 1, нужно округлить у так, чтобы последняя значащая цифра у находилась в том же десятичном разряде, что первая значащая цифра погрешности Dу.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Вычислить силу, которую оказывает газ под давлением р = 1.03 МПа (= 1.03×106 Па) на поршень с площадью основания s = 3.0 м2.
Сила вычисляется по уравнению
F = p×s = 1.03×106×3.0 = 3.09×106 Н (2)
Для вычисления погрешности DF по уравнению 1 необходимо знать погрешности значений р и s. Поскольку в условии задачи они не даны, то, следуя логике правила 2, остаётся принять в качестве приблизительных максимальных Dр = 0.01×106 Па и Ds = 0.1 м2, соответственно последним десятичным разрядам данных р и s. По уравнению 1 находим (см. формулы производных в приложении 4 )
= 3.0×0.01×106
+ 1.03×106×0.1 = 0.133×106
Н
Сравнивая полученное значение погрешности DF с результатом вычисления F, приходим к выводу, что F содержит только одну верную цифру, 3, тогда как все остальные являются сомнительными. Поэтому, согласно правилам 1 и 2, ответ к задаче должен иметь вид F = 3.1×106 Н.
Следует обратить внимание, что в этом примере давление было дано с тремя значащими цифрами, площадь с двумя, и в ответе пришлось записать две значащие цифры. Это является иллюстрацией другого (приблизительного) правила, которое иногда позволяет следовать правилу значащих цифр не прибегая к дифференцированию по уравнению 1, а именно:
(Правило 3) Число значащих цифр произведения или частного должно быть равно наименьшему числу значащих цифр из всех приближенных чисел, которыми оперируют при вычислении.
Пример 2. Вычислить молярную рефракцию R этин иодида, I–CºC–H, зная молярные рефракции связей (см3/моль): связи I–C r1 = 14.61, связи CºC r2 = 6.26 и связи C–H r3 = 1.676.
По правилу аддитивности рефракций находим:
R = r1 + r2 + r3 = 14.61 + 6.26 + 1.676 = 22.546 cм3/моль
Следуя описанной уже логике, примем погрешности Dr1 и Dr2 = 0.01, Dr3 = 0.001 cм3/моль. По уравнению 1 находим
= 0.01 + 0.01 +
0.001 » 0.02 cм3/моль
Таким образом, в вычисленном значении R две последние цифры являются сомнительными. Поэтому, согласно правилам 1 и 2, результат вычисления 22.546 cм3/моль следует округлить до 22.55 cм3/моль.
Этот пример служит иллюстрацией ещё одного приближенного правила:
(Правило 4) Результат сложения или вычитания следует округлить до такого числа цифр после разделительной точки, которое является минимальным среди приближенных складываемых или вычитаемых чисел.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.