Правила округления чисел

Приложение 6. Правила округления чисел

При решении задач физической химии приходится иметь дело с числами, количество цифр которых не является произвольным, а подчиняется определённым правилам. Наиболее общим и общепринятым является правило значащих цифр:

(Правило 1) Количество значащих цифр в записи числа должно быть равно числу верных цифр плюс одна сомнительная цифра.

Значащими цифрами называют все записанные цифры числа, за исключением нулей, показывающих положение первой ненулевой цифрой после разделительной точки. Например, в числе 20 – две значащие цифры, в числах 2, 0.2 и 2×10¹ – одна, а в числах 500, 5.50, 5.05, 0.0555 и 5.00×10^–2 – три.

Чтобы уметь пользоваться правилом значащих цифр, важно знать свойства действительных чисел в десятичной системе счисления и как эти свойства проявляются при вычислениях. Полезно помнить следующую классификацию:

1) существует множество целых чисел, а так же ноль, 0, ±1, ±2, ±3, …, которые могут быть представлены точно, без погрешности (на бумаге или на индикаторе калькулятора). В пределах этого множества всегда возможны действия сложения, вычитания и умножения, но не всегда деления.

2) существует множество конечных десятичных дробей, которые также могут быть представлены без погрешности. Эти числа получаются как результат деления некоторых целых. Например, 3/2 = 15/10 = 1.5 – точная десятичная дробь.

3) существует множество бесконечных десятичных дробей, которые в силу их бесконечности могут быть представлены (на бумаге, на индикаторе калькулятора, на шкале измерительного прибора и т.д.) только приближенно, в виде конечной дроби. В пределах этого множества всегда возможны все четыре арифметические действия, а также многие алгебраические операции.

Для приближенного представления десятичных дробей применяется следующее правило округления:

(Правило 2) Предположим, десятичную дробь Ц₁.Ц₂Ц₃Ц₄… (где Ц_i – цифры) требуется округлить до определённого десятичного разряда после разделительной точки, например до второго разряда, занятого цифрой Ц₃. Для этого все цифры справа, начиная с Ц₄, отбрасываются, а цифра Ц₃ остаётся без изменения, если Ц₄ < 5, и увеличивается на единицу, если Ц₄ ³ 5.

Например, округление чисел 0.333 и 0.336 до двух значащих цифр даёт 0.33 и 0.34, соответственно. Округление 2.99792×10⁸ (скорость света в вакууме, в м/с) до трёх значащих цифр даёт 3.00×10⁸, до двух – 3.0×10⁸, до одной – 3×10⁸. Если требуется округлить 1354, то это число следует представить как 1.354×10³ и округлить до 1×10³ (одна значащая цифра), 1.4×10³ (две) или 1.35×10³ (три).

В результате округления, приближенное число содержит погрешность, которая известна, если известно точное значение числа и результат его округления. Однако в реальных задачах приходится иметь дело с приближенными числами, точные значения которых не известны. Например, в условии задачи может быть дано давление р = 1.03 атм. Поскольку давление, по его физическим свойствам, может принимать любые значения в некоторых пределах, число 1.03 следует рассматривать как приближённое значение некоторой бесконечной дроби, которая не известна. В отсутствии дополнительной информации о точности, число 1.03 должно рассматриваться по правилу 2 как результат округления любого числа в пределах от 1.025 до приблизительно 1.035. Поэтому цифры 1 и 0 в этом числе являются верными, а цифра 3 сомнительной, причем её максимальная возможная погрешность составляет приблизительно 1. Теперь, если требуется вычислить некоторую функцию давления у = ¦(р), то погрешность значения р будет переходить по некоторому закону на величину у. То есть, результат вычисления у так же будет содержать некоторые верные и некоторые сомнительные цифры, из-за чего к нему необходимо применить правило 1 (правило значащих цифр).