§ 5. Формулы численного
интегрирования Гаусса
Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид
Здесь p(x)>0-фиксированная весовая функция, - постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f(x), R(f)-остаточный член.
Если R(f) обращается в нуль, когда
,
где коэффициенты произвольны, тo
Обозначим
.
Будем отыскивать многочлен
где-искомые абсциссы. Оказывается, удовлетворяет довольно несложному необходимому и достаточному условию, которое позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что
,
если q(x)- произвольный многочлен степени не выше n-1.Действительно,
является многочленом степени не выше 2n-1.Следовательно, R(f)=0.
Таким образом,
,
так как
Обратно, если мы найдем такой многочлен степени n что
,
когда q(x)-произвольный многочлен степени не выше n , и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то в полученной при этом формуле численного интегрирования R(f) будет обращаться в нуль, когда f
является произвольным многочленом степени не выше 2n-1. .
Действительно, пусть f(x) является таким многочленом. Тогда
где q(x) и r(x)- многочлены степени не выше n-1 . Отсюда
в силу нашего предположения. Но
,
так как r(x) как многочлен степени не выше n-1 совпадает со своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам ,.
Кроме того,
таким образом,
и R(f)=0 , что и требовалось доказать.
Коэффициенты формул Гаусса
Найдем теперь выражения для коэффициентов при , полученных формул численного интегрирования. Для этого рассмотрим функцию
Квадрат этой функции является многочленом степени 2n-2. Следовательно,
Отсюда
.
отметим здесь же, что все положительны.
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.