Формулы численного интегрирования Гаусса

§ 5. Формулы   численного

интегрирования  Гаусса

     Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид

Здесь  p(x)>0-фиксированная весовая функция,  - постоянные коэффициенты, не зависящие от функции  f(x), R(f)-остаточный член.

         Если  R(f)  обращается в нуль, когда

               ,                             

где коэффициенты     произвольны, тo

                                                                 

Обозначим

                                         .

         Будем отыскивать многочлен 

                                   

где-искомые абсциссы. Оказывается,   удовлетворяет довольно несложному необходимому и достаточному условию, которое позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что

,

если q(x)- произвольный многочлен степени не выше  n-1.Действительно,

является многочленом степени не выше 2n-1.Следовательно,   R(f)=0.  

Таким образом,

,

так как

           Обратно, если мы найдем такой многочлен  степени   n что

,

когда  q(x)-произвольный многочлен степени не выше n , и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то в полученной при этом формуле численного интегрирования R(f) будет обращаться в нуль, когда  f

является произвольным многочленом степени не выше   2n-1.              .

             Действительно, пусть   f(x) является таким многочленом. Тогда

где  q(x) и r(x)- многочлены степени не выше n-1 . Отсюда

в силу нашего предположения. Но

,

так как  r(x) как многочлен степени не выше n-1 совпадает со своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам ,.

Кроме того,

таким образом,

и   R(f)=0 , что и требовалось доказать.

                  Коэффициенты   формул   Гаусса

Найдем теперь выражения для коэффициентов при , полученных формул численного интегрирования. Для этого рассмотрим функцию

Квадрат этой функции является многочленом степени  2n-2. Следовательно,

Отсюда

.

отметим здесь же, что все  положительны.

Отсюда

.

.