Метод координат. Векторная алгебра. Скалярное умножение. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве, страница 3

Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x,y) – её старые координаты,  -новые. Тогда:

Для произвольного уравнения 2-го порядка можно подобрать такой угол, что произведение координат в уравнении станут нулём. В таком случае квадратичные слагаемые преобразуются и по их характеру можно определить тип кривой:

: ;

;

Пусть после поворота получено уравнение: . Выделяя полные квадраты (параллельный перенос), можно избавиться от линейных членов и прийти окончательно к уравнению . Тогда типы кривых:

Если же , то:

Если , то уравнение задаётся с помощью подходящего переноса и:

Поверхности 2-го порядка и их исследование.

Это поверхности, задающиеся в декартовых координат уравнениями 2-ой степени.

1. Сфера.

a,b,c – координаты центра, r – радиус.

2. Эллипсоид.

3. Гиперболоид.

Однополостной:           Двуполостной:

4. Параболоид:

Эллиптический:                  Гиперболический:

5. Цилиндрические поверхности.

Это поверхности обязательно 2-го порядка, которые наряду с каждой своей точкой содержат всю прямую, проходящую через эту точку и параллельную некоторому фиксированному для данной прямой направлению.

Всякая такая прямая называется образующей для данной поверхности.

Пусть образующая параллельна Oz. Тогда уравнение такой поверхности имеет вид Г(x,y)=0. Координата Z не входит в уравнение. Действительно, если M₀(x₀,y₀,z₀) лежит на такой поверхности, то и всякая точка M’(x₀,y₀,z’) лежит на этой поверхности, т.е. вся вертикальная прямая, проходящая через M₀ лежит на поверхности.

Если Г(x,y)=0 – произвольное уравнение 2-го порядка, то оно определяет в 3-мерном пространстве цилиндр, образующая которого параллельна оси OZ. Например, x²+y²=r² – прямой круговой цилиндр.

Для исследования поверхностей используется метод сечений, исследующий кривые, получающиеся сечением данной поверхности плоскостями, параллельными плоскостями.

Рассмотрим уравнение однополостного гиперболоида: .

Сечение z=h:  - определяет эллипсы, с тем большими полуосями, чем больше |h|.

Сечение x=h:  - пересекающиеся прямые в случае h²=a² и гипербола, соединяющая вершины эллипса, в случае h²≠a².

Сечение y=h:  - гипербола.

Комплексные числа.

Это объект вида a+ib, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица. Сложение и умножение комплексных чисел определяется формулами:

Обычно комплексное число обозначают как Z, а множество всех комплексных чисел – C.

z²=zz.

Пусть теперь z=0+i1. тогда:

i²=(0+i)(o+i)=-1+0i=-1

i²=-1.

Имея ввиду последнее равенство i² всегда можно заменять на –1.

Деление комплексных чисел:

Геометрически комплексные числа интерпретируются как векторы на плоскости, но при этом OX - действительная ось, OY – мнимая.

Для z=a+ib действительное a – есть действительная часть (ReZ), b – мнимая часть (ImZ).

Сложение и умножение комплексных чисел соответствует сложению двумерных векторов.

Комплексные числа имеют иную, тригонометрическую форму.

Пусть |z| - длина соответствующего вектора, тогда . Аргумент комплексного числа z≠0 – угол, образуемый этим вектором с положительным лучом оси OX.

Замечание. Для z≠0 его аргумент определён неоднозначно. Считается, что угол – один из его аргументов.

Для и z≠0:

Последнее выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.

Умножение в тригонометрической форме:

Т.е. модули перемножаются, а аргументы складываются. Из этой формулы следует формула Муавра:

Так же можно вывести формулы Эйлера:

По определению,  . С помощью этого определения тригонометрическая форма комплексного числа преобразуется в т.н. показательную: . С другой стороны, , отсюда можно получить формулы Эйлера:

Комплексные числа облегчают вычисление различных неопределённых интегралов; формулы преобразования координат при повороте системы можно получить, основываясь на комплексной интерпретации поворота; можно получить ряд тригонометрических формул:

Можно привести формулу извлечения корней n-степени из произвольного комплексного числа z≠0, nZ, n≥2: . Для всякого комплексного z≠0 и всякого натурального n≥2 существует ровно n корней n-ой степени из z и их значения даются формулой: