Свойства корреляции. Связь между зависимостью и коррелированностью. Условные распределения компонент, страница 2

 – функция распределения

Одномерный закон распределения СП

    

 одинаковы для данного  

Двумерный закон распределения СП

,  – переменные

Характеристики СП

1.  Математическое ожидание

 – неслучайная функция, которая в каждый момент времени  принимает значение математического ожидания соответствующего сечения.

дискретное

непрерывное

2.  Дисперсия

 – неслучайная величина, которая в каждый момент времени принимает значение дисперсии соответствующего сечения

3.  Корреляционная функция

 – корреляционный момент между двумя сечениями СП

 называют ещё автокорреляционной функцией

Свойства корреляционной функции

1. 

2. 

3. 

 – нормированная корреляционная функция

Пример:

,  – не зависят от

,  – ?

 – нормированная корреляционная функция экспоненты с нормальным распределением.

 – корреляционная функция

 – взаимная корреляционная функция СП  и

Дифференцирование СП

Производная СП – тоже СП

 – математическое ожидание

 – корреляционная функция

при

 

Интегрирование СП

 – математическое ожидание

 

Характеристики суммы СП

Пусть  – СП и , тогда

Доказательство:

 – центрированные величины

Тогда

Если СП  и  не коррелированны, то для любых сечений их взаимная корреляция будет равна 0, то есть 

а при

3.3. Разложение СП

Если , то  – элементарная функция

Каноническое разложение СП

, где

 – математическое ожидание СП,

 – центрированные взаимно некоррелированные случайные величины – коэффициенты случайного процесса, то есть

,  при

если , то

 – координатные функции они не случайны

Любой случайный процесс имеет каноническое разложение

Существует множество способов приведения СП к каноническому виду и конкретный способ зависит от статических данных:

3.4. Стационарные СП (ССП)

ССП – СП, характеристики которого (математическое ожидание, дисперсия) не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен (промежутка времени)

Если СП  – стационарный, то

Пример:

 – четная

Эргодичность ССП

Свойство эргодичности:

Любая реализация достаточно большой продолжительности является "полномочным представителем" любой другой реализации.

Если  , то имеет место эргодический ССП

 

Каноническое разложение ССП

 – случайные амплитуды

 – случайные фазы

Пример ССП:

Случайная телеграфная волна

Имеем простейший поток событий с интенсивностью .

Одномерная функция распределение примера:

	0,5	0,5

,

 это эргодичный ССП

3.5. Марковские процессы(МП)

Марковские процессы – это случайные процессы, которые имеют дискретные состояния. Обозначают:

 – множество состояний СП может быть очень большим, но обязательно счетным.

Теория графов

Пример ориентированного графа состояний

 – вершина графа

 – ребра графа

Источник – вершина, в которую не идет ни одна стрелка. Например,  .

Поглотитель – вершина, из которой не выходят ни одного ребра. В данной примере это вершина .

Транзитивное состояние – вершина, в которую входят и выходят стрелки.

Связное множество состояний, или эргодическое – граф для которого можно из любого состояния (вершины) можно перейти в любое.

Процесс гибели или (и) размножения (отказа – восстановления)

 – вероятность того, что СП принял значение  в момент времени .

 – условие нормировки.

Установившийся режим

 

Если предельные вероятности состояний существует, то СП имеет стационарный (установившийся) режим.

Марковский процесс – случайный процесс, у которого для любого момента  вероятности состояний  зависят только от вероятности состояний  при  и не зависят от (прошлого)  при

Марковский процесс – случайный процесс, для которого вероятности состояний зависят только от настоящего и не зависят от прошлого.

МП с дискретным временем

(Цепи Маркова) (ЦМ)

Основная задача исследования ЦМ – это нахождение вероятностей на "к" – том шаге

 – вероятность перехода из первого состояния в "j" – тое

 – вероятность перехода из  в  на "к" – том шаге, Представляется собой матрицу перехода. На каждом шаге эта вероятность в общем случае будет разной.

По формуле полной вероятности имеем

 – условие нормировки  матрицы перехода – стохастические матрицы, так как для них выполняется условие нормировки.

ЦМ однородна , если вероятности переходов не зависят от шага, то есть

Пример:

 – всегда дано

Найдем: , , ,

Стационарный режим ЦМ

Существует, если:

1.  Множество состояний эргодическое

2.  ЦМ не однородна

3.  ЦМ не должна быть цикличной

 – балансовое уравнение для стационарного режима ЦМ

Суммарный поток, который входит в состояние равен суммарному потоку, который выходит из потока.

МП с дискретным состоянием и непрерывным временем

Пусть переход из состояния "i" в "j" происходит под воздействием пуассоновского потока событий с интенсивностью

Условие  означает, что система остается на месте.

Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние пуассоновские и независимые, то такой СП называют Марковским.

Пусть система имеет  состояний

,

 – система осталась в состоянии "i"

 – система перешла в "i" из каких-то других состояний.

Делим на

 – уравнение Колмогорова для МП

Однородный МП – это МП, для которого вероятности перехода из состояния в состояние не зависят от того, в какой момент времени система находилась в исходном состоянии, а зависит только от промежутка времени.

Если

Не зависит от времени стационарный пуассоновский поток.

Перепишем уравнение Колмогорова для однородного МП