ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКая СТАТИСТИКА и ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
ФТФ, 5-й семестр
1. Предмет ТВ. Случайный эксперимент. События и операции над ними. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Свойства вероятности в этих случаях.
2. Аксиоматическое определение вероятностного пространства. Простейшие свойства вероятности.
3. Непрерывность вероятности.
4. Условные вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимость событий. Лемма Бореля-Кантелли.
5. Вероятностное пространство для последовательности независимых испытаний.
6. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формулировки теорем Муавра-Лапласа.
7. Теорема Пуассона, оценка точности пуассоновского приближения.
8. Случайные величины (с.в). Распределения с.в., s-алгебра событий, порожденная с.в.
9. Функция распределения с.в. Необходимые и достаточные условия того, что функция является функцией распределения.
10. Классификация распределений. Примеры распределений.
11. Многомерные с.в. и распределения.
12. Независимость с.в. Переформулировки определения независимости.
13.** Интеграл Стилтьеса: определение, свойства, примеры.
14. Непрерывный вариант формулы полной вероятности. Условные распределения. Закон композиции распределений.
15.* Основное свойство показательного распределения. Распределения Эрланга и Лапласа.
16. Математическое ожидание: определение, примеры, свойства.
17. Дисперсия: определение, свойства, примеры.
18. Моменты. Неравенства Иенсена, Ляпунова, Гельдера. Проблема моментов. Квантили распределения.
19. Ковариация. Матрица ковариаций случайного вектора. Коэффициент корреляции.
20. Характеристические функции: определение, примеры, свойства.
21. Формула обращения. Теоремы Бохнера-Хинчина и Пойа (только формулировки). {Производящие функции. Характеристическая функция суммы случайного числа независимых одинаково распределенных с.в.}*
22. Виды сходимостей последовательностей случайных величин. Формулировка теоремы о связи сходимости по распределению и сходимости характеристических функций.
23. Неравенства Чебышева.
24. Закон больших чисел (ЗБЧ). Теорема Маркова, ее следствия.
25. ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с.в. Доказательство т. Вейерштрасса с помощью ЗБЧ. {Вариант ЗБЧ для последовательности зависимых величин}.*
26. Усиленный ЗБЧ. Законы 0 или 1 (формулировки).
27. Центральная предельная теорема в форматах Хинчина (с доказательством), Линдеберга, Ляпунова, схемы серий. Оценка скорости сходимости. Закон повторного логарифма.
28.* Моделирование с.в. Метод обратной функции. Моделирование смесей. Выбор с отклонением. Метод Монте-Карло.
29. Задачи МС. Понятие выборки.
30. Оценивание параметра. Свойства оценок. Выборочные характеристики и их свойства.
31. Порядковые статистики. Вариационный ряд.
32. Эффективность. Информация Фишера, неравенство Рао-Крамера. Робастность.
33. Метод моментов.
34. Метод максимального правдоподобия.
35. Регрессия. Линейная регрессия и метод наименьших квадратов.
36. Задача проверки гипотезы. Критерий проверки. Ошибки первого и второго рода.
37. Распределения Стьюдента и c2.Лемма Фишера.
38. Построение доверительных интервалов. Проверка простых гипотез для параметров нормального распределения. Гипотеза равенства средних двух нормальных выборок.
39. Критерий c2.
40.Статистические критерии для проверки гипотез согласия, симметрии, однородности, независимости.
41.Определение случайного процесса. Типы случайных процессов. Примеры.
42. Пуассоновский поток и винеровский процесс (броуновское движение).
43.Однородные марковские цепи, способы их задания, примеры. Классификация состояний.
44. Возвратность состояний.
45. Предельное поведение вероятностей перехода и распределений Марковской цепи. Стационарное распределение.
46. Однородные марковские процессы с непрерывным временем. Дифференциальные уравнения Колмогорова. Инфинитезимальная матрица.
* - этот вопрос или выделенная {скобками} часть вопроса разбирается на практических занятиях.
** - вопрос не включается, если интеграл Стилтьеса был в курсе мат.анализа (его не будет в билете, но как дополнительный он может быть задан).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.