Задания для самостоятельной работы по дисциплине «Математика»

Задания самостоятельной работы

для студентов специальности  080507.65 – Менеджмент организации,

всех форм обучения

по дисциплине «Математика»

Задание 1

В партии из n=14 изделий k=5 изделий бракованные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m=3 изделий будут бракованными?

Решение

Обозначим через:

А₁ – событие, состоящее в том, что первое взятое изделие бракованное;

А₂ – событие, состоящее в том, что второе взятое изделие бракованное;

А₃ – событие, состоящее в том, что третье взятое изделие бракованное.

Событие, состоящее в том, что взятые три изделия бракованные  есть произведение событий А₁ А₂ А₃.

По теореме умножения вероятностей событий вероятность произведения событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

P(A₁A₂A₃) = P(A₁)P(A₂/A₁)P(A₃/A₁A₂).

Вероятность события А₁

Условная вероятность P(A₂/A₁)события А₂ при условии, что событие А₁ про­изошло

Условная вероятность P(A₃/A₁A₂)события А₃ при условии, что события А₁ и А₂  произошли

Окончательно получаем

Ответ:

Задание 2

Непрерывная случайная величина X, имеющая математическое ожидание M_x=24 и среднее квадратическое отклонение s_x=1, распределена по нор­мальному зако­ну. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из интервала (a, b)=(20, 26) .

Указание: использовать таблицу значений нормированной функции Лапласа

                 – приложение 1. 

Решение

Из свойства функции распределения, вероятность попадания нормаль­но распределенной случайной величины Х в заданный интервал х₁ < X < x₂ может быть выражена в виде разности значений функции распределения в граничных точках интервала:

Если воспользоваться интегралом

который называется функцией Лапласа, то искомая вероятность через функцию Лапласа запишется в виде

          

Или в обозначениях нашей задачи

Функцию Лапласа нельзя выразить через элементарные функции, по­этому определяют их численные значения, которые помещают в специальные таблицы (см. приложение 1).

Поэтому, сначала вычисляем аргументы функции Лапласа

а затем, используя таблицу приложения 1 для вычисления функции Лапласа, находим искомую вероятность. Учитывая, что функции Лапласа является нечетной, т.е. Ф(–z)= – Ф(z) получаем

Ответ: Р(a< X< b) = Р(20 < X< 26) =0,977218.

Задание 3

Найти несмещенную (исправленную) выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

xi	2	7	9	10
ni	8	14	10	18

Решение

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

Выборочную дисперсию тогда можно вычислить на основе выборочного среднего так

Имеем  n = n₁+ n₂+ n₃+ n₄ = 8+14+10+18 = 50,

Находим несмещенную (исправленную) оценку дисперсии

Ответ: s²=7,73.

Задание 4

Страховая компания выпустила четыре вида страховых полисов в предположении, что спрос на них будет одинаков. Фактические объемы реализации полисов приведены в таблице.

Оценить для уровня значимости  a = 0,01 согласуется ли фактическая реализация теоретическому предположению о равномерности спроса на все виды страховых полисов?

Указание: использовать таблицу –  приложения 2.

№ полиса	1	2	3	4
Объем реализации	50	21	23	26

Решение

Проверяем нулевую гипотезу о  равномерности спроса на все виды страховых полисов, т.е. полагаем  полагаем теоретические объемы продаж m₁^Т, m₂^Т, m₃^Т и m₄^Т равными

m₁^Т= m₂^Т= m₃^Т=m₄^Т=( m₁+ m₂+ m₃ + m₄)/4=(50+21+23+26)/4=30.

Составим таблицу

№ полиса	i	1	2	3	4
Фактический объем реализации	mi	50	21	23	26
Ожидаемый объем реализации	miT	30	30	30	30

Рассчитаем значение критерия согласия Пирсона

Для уровня значимости a = 0,01 по таблице c² -  распределения для числа степеней свободы L = 4 – 1 =3 (L = n – r – 1) находим  c²_кр = 11,3.

Т.к. для уровня значимости a = 0,01 критическая область представляет собой интервал (c²_кр; ¥ ) = ( 11,3; ¥ ), а c_r²=18,2  принадлежит критической области, то нулевая гипотеза о   равномерности спроса на все виды страховых полисов отвергается.

Ответ: нулевая гипотеза о равномерности спроса отвергается.

Задание 5

На основании измерений величин X и Y найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

X	xi	3	5	7	9	10
Y	yi	14	10	9	8	6

Решение

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии Y на X в виде

                    M(Y / X=x) = j(x) = aх + b.

Оценки aи  bпараметров будем находить по методу наименьших квадратов, как минимизацию суммы квадратов уклонения линии уравнения регрессии, вычисленных в точках x_i, от опытных данных y_i, т.е.

                 

Оценки aи  b, обеспечивающие решение этой задачи, имеют вид

            

             

Составим расчетную таблицу

	x	y	x2	xy	y2
	3	14	9	42	196
	5	10	25	50	100
	7	9	49	63	81
	9	8	81	72	64
	10	6	100	60	36
å	34	47	264	287	477

Определяем

a =(5*287–34*47)/(5*264-34²)= – 0,99,

b = (264*47– 34*287)/(5*264 – 34²) = 16,16.

Выборочный коэффициент корреляции имеет вид

                      

где выборочные средние квадратические отклонения вычисляются как:

                                 

а  выборочный эмпирический  корреляционный момент

  

где x_B и y_B  - выборочные средние:

 

В результате имеем

Ответ: j(x) = –0,99х + 16,16;  r_B = –0,96.