Приклади розв’язання типових завдань для самостійної роботи студентів з дисципліни "Математико-статистичні методи досліджень"

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ

ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

З дисципліни: «Математико-статистичні методи досліджень».

 (9 семестр)

Задача 1.

Відома врожайність в центнерах з гектара озимої пшениці по 25 КСП: 29,4; 24,8; 44,1;22,6; 40,3; 26,6; 32,4; 33,1; 25,7; 37,2; 31,4; 34,4; 38,2; 44,5; 42,8; 39,3; 28,8; 20,5; 36,3; 27,5; 30,6;29,3; 24,1; 23,6; 39,8. Побудувати ранжувальний ряд, інтервальний варіаційний ряд, полігон, гістограму відносних частот, вибіркову функцію розподілу і її графік.

Розв’язання. Для побудови ранжувального ряду запишемо наведені результати врожайності в порядку зростання: 20,5; 22,6; 23,6; 24,1; 24,8; 25,7; 26,6; 27,5; 28,8; 29,3; 29,4; 30,6; 31,4; 32,4; 33,1; 34,4; 36,3; 37,2; 38,2; 39,3; 39,8; 40,3; 42,8; 44,1; 44,5.

Для   побудови   варіаційного   інтервального   ряду   визначимо   число   інтервалів:

Величину (довжину) інтервалу визначимо за формулою

Визначимо межі інтервалів, представників інтервалів, як середнє арифметичне меж інтервалів,  частоти інтервалів ,  відносні частоти    Одержані результати  занесемо до таблиці, яку називають варіаційним інтервальним рядом досліджуваної випадкової величини.

Інтервали
	22,5	26,5	30,5	34,5	38,5	42,5
	4	4	6	3	5	3

Побудуємо полігон розподілу відносних частот випадкової величини Х (рис.1).

 

             

             0,3

             0,2

             0,1

                 0           22,5            26,5            30,5            34,5            38,5            42,5                    х

                      Рис.1

Побудуємо гістограму відносних частот ВВХ.

             

             0,3

 

             0,2

 

             0,1

 

                0            20,5          24,5          28,5          32,5          36,5          40,5         44,5           x     

                      Рис.2

Знайдемо вибіркову(статистичну) функцію розподілу та побудуємо її графік (рис.3).

            

            

                 1,0

               0,88 

               0,68     

               0,56

               0,32   

               0,16

                     0           22,5          26,5          30,5         34,5          38,5          42,5     44,5            х

                           Рис.3

Задача 2.

 Середнє арифметичне значення 25 вимірів фізичної величини дорівнює 42,5 м. Всі виміри виконані одним і тим же приладом із середнім квадратичним відхиленням 2,1. Вважаючи результати вимірів нормально розподіленою випадковою величиною, знайти з надійністю 0,95 довірливий інтервал для математичного сподівання.

Розв’язання. Для оцінки математичного сподівання  а  нормально розподіленої ВВХ за вибірковою середньою  і відомим середнім квадратичним відхиленням   є довірливий інтервал   За  умовою задачі маємо:

Знайдемо значення tз умови   тобто   З таблиці значень функції Лапласа  знаходимо  t = 1,96. Шуканий довірливий інтервал має вигляд    або 

Задача 3.

Задана вибірка значень нормально розподіленої ознаки Х у вигляді таблиці

		-2	1	2	3	4	5
		2	1	2	2	2	1

Потрібно знайти:

1)  вибіркову середню  і виправлене середнє квадратичне відхилення  s;

2)  довірливий інтервал, який покриває невідоме математичне сподівання  а  ознаки Х;

3)  довірливий інтервал, який покриває невідоме середнє квадратичне відхиленняознаки Х.

Надійність оцінки

Розв’язання

1.  Знайдемо   об’єм    вибірки       Знайдемо     вибіркову

середню    за   формулою      Підставляючи   числові   значення,   знайдемо

Обчислимо  спочатку  виправлену  вибіркову  дисперсію

   Отже,  виправлене  середнє  квадратичне  відхилення

2.  Довірливий  інтервал  для  невідомого  математичного  сподівання  має  вигляд

За таблицею значень (додаток №3) при n = 10,  знаходимо   Послідовно обчислюємо: