Метод расчета текущей оценки вероятностей состояний рынка

Приложение.

    Метод расчета текущей оценки вероятностей состояний рынка

     В зависимости от воздействия многих внешних и внутренних факторов активность операций на срочном рынке изменяется со временем. В некоторые дни эта активность изменяется скачком, в другие - постепенно. Условно можно определить два состояния активности рынка: нормальное, в котором рынок пребывает большую часть времени,  спокойное, с низкой активностью (например, в период летних отпусков) и возбужденное, с высокой активностью (например, в период кризисов). Возбужденные состояния возникают редко, переход в них происходит скачкообразно и их распознавание обычно не вызывает затруднений. Более сложно заметить переход из нормального состояния в спокойное и наоборот. Для решения этой задачи можно использовать приведенный ниже метод обработки данных торгов на срочном рынке.

     Пусть на рынке в каждый торговый день t контролируется n показателей x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t), которые удобно представить в виде n-мерного вектора x(t). Предполагается, что вектор x(t) подчиняется многомерному нормальному распределению, характеризуемому вектором математического ожидания x_ср(t) и ковариационной матрицей С. В разные торговые дни эти параметры могут быть разными. Принимается допущение, что эти параметры зависят только от состояния рынка в соответствующий торговый день и, следовательно, каждый вектор x(t) может подчиняться нормальному закону либо f₁(x) с параметрами x_1ср, C₁ (спокойное состояние - класс K₁), либо f₂(x) с параметрами x_2ср, C₂ (нормальное состояние - класс K₂). При анализе состояния рынка должна быть решена задача классификации, то есть отнесения наблюдаемого вектора x(t) к одной из двух нормальных совокупностей.

      Если собрать наблюдения x(t₁), x(t₂), ... , x(t_m) на некотором интервале времени [t₁,t_m], то среди них будут находиться векторы разных классов. Состояние рынка будет определяться частостями представительства разных классов в этой выборке.  В пределе можно определять состояние рынка величинами вероятностей P₁, P₂ (P₁ + P₂ = 1), задающими смесь распределений вероятностей наблюдений

                 f(x) = P₁* f₁(x) + P₂* f₂(x) .

Для упрощения задачи принимаются следующие допущения:

1) вектор математических ожиданий одинаков для обоих состояний рынка              x_1ср = x_2ср = x_ср ,

2) ковариационные матрицы пропорциональны с коэффициентом a

                  C₂ = a*C₁ .

Для решения задачи классификации для торгового дня t по данным торгов x(t) в этот день рассчитывается значение апостериорной вероятности

P[K₁½x(t)]= P₁* f₁(x)/[ P₁* f₁(x)+ P₂* f₂(x)]=1/{1+[ P₂* f₂(x)]/[ P₁* f₁(x)]}.

При сделанные выше допущениях получим

            P[K₁½x(t)] =  1/{1+exp[h*(a-1)*(z(x)-z₁)/ (2*a)]},     (1)

где h=P₁+a*(1-P₁), P₁ - априорная вероятность класса K₁ , z(x) - дискриминантная функция, z₁ - ее пороговое значение:

                      z(x) = (x(t) - x_ср)^TC^-1(x(t) - x_ср),  

                      z₁ = 2a*{ln[P₁/(1-P₁)]+0.5n*ln[a]}/[h*(a-1)].

Здесь x_ср и C - оценки математического ожидания и ковариационной матрицы, полученные по наблюдениям на некоторой предыстории дня t. Для проведения расчетов необходимо также иметь значения a и P₁, которые здесь могут быть приняты равными 10 и 0.3, соответственно.

      После расчета апостериорной вероятности по формуле (1) можно произвести классификацию для текущего торгового дня по правилу

                x(t)  ® K₁, если P[K₁½x(t)] > 0.5 (спокойное состояние),

                x(t)  ® K₂, если P[K₁½x(t)] < 0.5 (нормальное состояние).

Такие классификации могут быть проведены для разных торговых дней. Если предположить, что состояние рынка все-таки не может измениться мгновенно, то наряду с оценками состояния текущего дня представляет интерес сглаженная оценка, получаемая по аналогичному правилу

                x(t)  ® K₁, если P[K₁,t] > 0.5 (спокойное состояние),

                x(t)  ® K₂, если P[K₁,t] < 0.5 (нормальное состояние).

где P[K₁,t] - сглаженная апостериорная вероятность

                               å_jw(t-t_j)* P[K_i½x(t_j)]

             P[K_i,t]   =                                            ,                                

                                    å_j w(t-t_j)

Здесь t - день, для которого оценивается состояние рынка, t_j - ближайшие к t торговые дни, w(Dt) - весовая функция (w(Dt) ®0 при ½Dt½ ®¥ ). Весовую функцию можно выбрать в виде w(Dt) = -b*(Dt)². При практических расчетах коэффициент b можно задать равным 0.023, что будет соответствовать сглаживанию по 10 ближайшим торговым дням.