Исследование переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами

Расчетное задание № 1.

Исследование переходных процессов

в цепях с сосредоточенными параметрами.

1.  Программа работы.

·  Для заданной схемы с сосредоточенными параметрами (контур второго порядка) составить уравнения, описывающие процессы в схеме.

·  Рассчитать переходные процессы в контуре (напряжение на емкости, ток в индуктивности) при включении постоянной э.д.с. с помощью численных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Подобрать  величины активных сопротивлений таким образом, чтобы переходный процесс в контурах имел колебательный характер.

·  Оценить максимальные значения напряжений и токов в переходном процессе по инженерной методике и сравнить с результатами расчета численным методом.

·  Рассчитать переходные процессы в контуре при включении переменной э.д.с. при углах включения  и .

·  Составить отчет, проанализировать полученные результаты.

2.  Математическая модель электромагнитных переходных процессов в схемах с сосредоточенными параметрами.

Для решения любой инженерно-технической проблемы необходимо составить простейшую схему замещения, которая с достаточной для практики точностью  воспроизводит основные характеристики процесса. Так, например, анализ переходных процессов, возникающих в электроустановках при какой либо коммутации, можно провести в эквивалентной схеме замещения, которая должна быть составлена таким образом, чтобы с достаточной точностью воспроизводить  максимальные напряжения  и токи в наиболее важных точках цепи, а также частоту колебаний этих напряжений и токов. Инженер должен ориентироваться в характере влияния активных и реактивных элементов ( R, L, C)на переходные процессы, уметь составлять эквивалентные схемы сетей в зависимости от частоты или длительности исследуемых процессов.

          Для анализа переходных процессов в схеме с сосредоточенными параметрами  необходимо записать уравнения, описывающие процессы в схеме. При современном уровне развития вычислительной техники  дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях можно решить, используя численные методы расчета. Для этого необходимо записать полученные уравнения в форме Коши:

                                                                                                       (1.1)

 

         

                                                   R             L

                               e(t)                                                  C

 

      Рис.1.1. Пример расчетной схемы.

Например, переходные процессы в контуре R,L,C, изображенном на рис. 1.1, описываются следующей системой уравнений:

 

                                                                                   (1.2)

          Уравнения (1.2) в форме Коши будут иметь вид:

                                                   (1.3)

          Решить систему уравнений, описывающую процессы в заданной схеме, можно при помощи одной из систем инженерных и научных расчетов MathCAD (MathCAD 7/0 PRO) или MATLAB (MATrix LABarotatory), в состав которых входят в том числе функции численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим примеры решения системы уравнений (1.3) в обеих этих системах.

2.1.  Пример решения уравнений в системе MathCAD.

В МathCAD введен ряд функций [2], дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Остановимся на одной из них:

rkfixed(X,T1,T2,n,D)  -  возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта

                               системы обыкновенных дифференциальных   

                                         уравнений с начальными условиями в векторе X,

правые части которых записаны в символьном

                                         векторе D,на интервале от T1 до T2 при

                                         фиксированном количестве шаговрасчета n.

Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Исходные данные:

R:=100       L:=1       C:=10^-6

e(t):=1        To:=0     Tmax:=0.1

Решение:

        - параметр системы

       - вектор начальных условий

              - система дифференциальных уравнений

     - задание решения

          n:=0…1000      - номера шагов расчета, выводимых на график

График тока во времени  (t=T_ma.x./N)

                    График изменения напряжения во времени 

Рис.1.2. Решение системы дифференциальных уравнений с применением функции 

              rkfixed ( включение схемы на  постоянную э.д.с.)

          Рис.1.2. иллюстрирует технику решения системы из двух дифференциальных уравнений (1.3) и построение расчетных кривых изменения тока и напряжения во времени. В расчете введены следующие обозначения:

X         -   вектор начальных условий  (U_С = 0, i₀ = 0 ),

X₀        -   обозначение переменной, производная которой вычисляется в первом

уравнении системы (1.3),

X₁          -  обозначение переменной, производная которой вычисляется во втором

уравнении системы (1.3),

D(t,X) -  матрица, вычисления правых частей дифференциальных уравнений,

T₀  и T_max – время начала и конца расчета. 

2.2.    Пример решения уравнений в системе MATLAB.

          Численное интегрирование  системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3) при использовании системы Matlab  осуществляется следующим образом: уравнения (1.3)  записываются в виде отдельной функции (rlc.m), расположенной в основной (головной) программе ( Main.m) и затем с помощью встроенной процедуры осуществляется решение дифференциальных уравнений одним из численных методов ( например методом трапеций при использовании стандартной процедуры - ode23t ).

Пример основной  программы  Main.m

global R L C w

R=100; L=0.1; C=1.e-6;                        % задание параметров схемы

w=100*pi;                                             % задание частоты источника

t0=0;                                                      %  начальное время расчета

tf=0.1;                                                    %   конечное время расчета

y0=[0 0];                                                %  вектор начальных условий (U_C=0,i₀=0)

ts=[t0 tf];                                                %  диапазон времени расчета от t0 до tf

[t,y]=ode23t('rlc',ts,y0);                         %  решение системы уравнений (1.3)

subplot(211),plot(t,y(:,1),'red'),grid;      % построение графика i(t)

title('Ток в контуре')                             % название графика

subplot(212),plot(t,y(:,2),'green'),grid;  % построение графика U(t)

title('Напряжение на конденсаторе')   % название графика

Пример подпрограммы-функции rlc.m

function yp=rlc(t,y)

global R L C w

e=1;                                    %  включение постоянной э.д.с.

%e=sin(w*t)                      %  включение синусоидальной  э.д.с.

%e=sin(w*t+pi/2)              %  включение синусоидальной  э.д.с.

yp=[e/l-y(1)*r/l-y(2)/l; y(1)/c];          % реализация правых  частей  системы  (1.3)