Рисунок 4.3
Приблизно вважатимемо кожний майданчик плоским, а вектор а постійним
і однаково направленим в кожній точці майданчика. Тоді за одиницю часу через Si протікає кількість рідини, що приблизно дорівнює Ki Hi S, де S -площа і-го майданчика, Hi-висота i-го циліндра зі створюючою а(Mi). Але Hi є проекцією вектора а(Mi)) на нормаль п: Hi = а(Mi) , де п — одиничний вектор нормалі до поверхні в точці Mj. Отже, загальна кількість рідини, що протікає через всю поверхню S за одиницю часу, знайдемо, обчисливши суму
К.
Точне значення шуканої кількості рідини набудемо, взявши межу знайденої суми при необмеженому збільшенні числа елементарних майданчиків і наближенні до нуля їх розмірів (діаметрів di майданчиків):
K
Незалежно від фізичного тлумачення поля а(М) одержаний інтеграл називають потоком векторного поля.
Потоком вектора через поверхню S називається поверхневий інтеграл 1-го роду по поверхні S від скалярного добутку вектора на одиничний вектор нормалі до поверхні .
.
Обчислити потік вектора – це обчислити поверхневий інтеграл 1-го роду.
Властивості потоку
1) Потік вектора величина скалярна.
2) Потік змінює знак на протилежний зі зміною орієнтації поверхні (тобто зі зміною орієнтації нормалі до поверхні S):
,
де - сторона поверхні S, на якій вибрана нормаль , - сторона поверхні S, на якій нормаль .
3) Властивість лінійності:
,
де і - числа.
4) Властивість адитивності: якщо поверхня S складається з декількох гладких частин , , ... , то потік векторного поля вектора через S дорівнює сумі потоків вектора через поверхні , , ... :
.
Нехай поверхня S замкнена і обмежує деяку область . Візьмемо зовнішню нормаль і розглянемо потік зсередини поверхні S.
Коли векторне поле представляє поле швидкостей рідини, величина потоку дає різницю між кількістю рідини, що витікає з області , і кількістю рідини, яка впадає в цю область. Якщо К=0, то в область втікає стільки ж рідині, скільки і витікає. Так буде для будь-якої області, розташованої в потоці води.
Якщо К>0, то витікає рідині більше, ніж втікає, тобто в області є джерела, що живлять потік рідини.
Якщо К<0, то витікає рідині менше ніж втікає, тоді в області є стоки, де рідина видаляється з потоку.
Приклад 4.4Знайти потік векторного поля через трикутник, вирізаний з площини Р координатними площинами, в тому напрямку нормалі до площини, який утворює з віссю oz тупий кут. Рівняння площини Р: 2x-y+5z-10=0
Рішення.
Знайдемо орт нормалі до площини Р:
Оскільки за умовою задачі кут між і віссю oz тупий, то <0, тому вибираємо знак «-»
, тоді .
Знайдемо :
Тоді, оскільки , то
Рисунок 4.4
4.3.3 Формула Остроградського – Гауса
Якщо в деякій області D простору координати вектора безперервні і мають безперервні частинні похідні , , , то потік вектора через будь-яку замкнену поверхню S, розташовану в області D, дорівнює потрійному інтегралу від по області V, обмеженої поверхнею S, тобто
.
Обчислення потоку за формулою Остроградського – Гауса значно полегшує знаходження потоку, коли поверхня S замкнена.
Приклад 4.5 Знайти потік вектора через зовнішню сторону поверхні, що розташована в першому октанті й складається з параболоїда обертання z=x+y, циліндра x+y=1 та координатних площин якщо (див. рис. 4.5)
Рисунок 4.5
Рішення. Оскільки P(x,y,z)=xz, Q(x,y,z)=xy, R(x,y,z)=yz,
, то
К = (z + x+ y)dx, dy.dz.
Для обчислення потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат: x=. Якобіан відображення дорівнює , тому
К=
4.3.4 Дивергенція та ротор векторного поля
Візьмемо деяку точку Р векторного поля , оточимо її замкненою поверхнею S, яка повністю знаходиться в полі. Обчислимо потік вектора через поверхню S і розглянемо відношення цього потоку до об'єму V області , обмеженої поверхнею S
.
Знайдемо тепер межу відношення
за умови, що область стягується в точку Р, тобто що об'єм .
Дивергенцією векторного поля в точці Р називається межа відношення потоку вектора через поверхню, що оточує крапку Р, до об'єму, обмеженого цією поверхнею, за умови, що вся поверхня стягується в точку Р.
.
Теорема. Дивергенція векторного поля в точці Р виражається формулою , де частинні похідні беруться в точці Р.
Доведення. За формулою Остроградського-Гауса . Згідно теореми про середнє потрійний інтеграл дорівнює добутку об'єму V на значення підінтегральної функції в деякій точці області , тобто
.
Якщо область стягується в точку Р, то точка прямує до точки Р і тоді
.
З визначення дивергенції виходить, що якщо , то в точці Р – джерело, а якщо , то в точці Р – стік.
Ротором векторного поля
називається вектор
.
Для зручності запам'ятовування зручно записувати в символічній формі:
.
Цей визначник розкривається за елементами першого рядка, при цьому операції множення елементів другого рядка на елементи третього рядка розуміються як операції диференціювання, наприклад .
Приклад 4.5 Знайти ротор векторного поля
.
Рішення.
.
4.3.5 Потенціальне поле
Векторне поле називається потенціальним, якщо існує така функція , що у всіх точках, де поле задано, виконується рівність:
або , , .
Функція U називається потенціалом векторного поля .
Для того, щоб векторне поле, задане в однозв'язній області V вектором , було потенціальним, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці області, де задано поле, виконувалася умова .
Інакше кажучи, поле потенціальне, якщо виконуються рівності
.
Якщо векторне поле плоске, тобто , то воно потенціальне, якщо , оскільки в цьому випадку .
Якщо поле потенціальне, то криволінійні інтеграли, обчислювані вздовж кривих, що знаходяться в області, де задано це поле, не залежать від шляху інтеграції, а залежать тільки від початку і кінця руху по кривій. Це відбувається, оскільки умова потенціальності поля співпадає з умовою незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтеграції.
Потенціал знаходимо за формулою
.
Потенціал поля визначається неоднозначно, з точністю до постійного доданку, оскільки точка вибирається довільно. Частіше в якості беруть (0;0;0), якщо це точка, в якій полі вектора задано.
Приклад 4.6 Показати, що поле вектора потенціальне і знайти його потенціал.
Рішення.
Поле вектора буде потенціальним, якщо =0.
Знайдемо .
Оскільки =0, те поле вектора потенціальне. Знайдемо потенціал.
4.3.6 Циркуляція векторного поля
Циркуляцією вектора вздовж замкнутого контура L називається криволінійний інтеграл по цьому контуру від скалярного добутку вектора на вектор дотичної до контура:
,
якщо і , то
Додатним напрямом обходу замкненої кривої L вважають напрям, при якому область, обмежена цією кривою, залишатиметься зліва.
В силовому полі вищенаведена формула задає роботу при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L.
Приклад 4.7 Знайти циркуляцію векторного поля уздовж кола x+y=ax
Рішення.
Рівняння кола зведемо до параметричного вигляду з центром у точці (), тобто
x=;
.
Формула Стокса. Нехай координати вектора безперервні і мають безперервні частинні похідні, тоді циркуляцію вектора по замкненому контуру L зручно обчислити за формулою Стокса.
Теорема. Циркуляція вектора вздовж замкненого контура L дорівнює потоку ротора цього вектора через будь-яку поверхню S, натягнуту на контур L.
.
Передбачається, що орієнтація нормалі до поверхні S злагоджена з орієнтацією контура L так, щоб з кінця нормалі обхід контура у вибраному напрямі був видний таким, що скоюється проти годинникової стрілки.
З теореми виходить формула Стокса:
,
де - проекції поверхні S на площині YOZ, XOZ, XOY.
Окремим випадком формули Стокса, коли поле вектора пласке, буде формула Гріна.
Якщо поле вектора плоске, то
,
,
оскільки =0 і =0.
Тоді у формулі Стокса =0 і =0 і
.
Приклад 4.8
Знайти циркуляцію вектора а =(5x+4y; 10x+3y) вздовж контура прямокутника, обмеженого лініями: x=0; y=0;x=2;y=3.
Рішення
Обчислимо інтеграл
Ц=
.
4.4 Оператор Гамільтона
Багато операцій векторного аналізу можуть бутизаписані в скороченій і зручній для розрахунків формі за допомогою символічного оператора Гамільтона «набла».
.
В цьому операторі сполучені диференціальні і векторні властивості. Формальне множення на функцію U(x;y;z) розуміють як частинне диференціювання .
Правила дії з оператором «набла» такі:
1) Добуток набла – вектора на скалярну функцію U(x;y;z) дає градієнт цій функції:
.
2) Скалярний добуток набла - вектора на векторну функцію дає дивергенцію цієї функції:
3) Векторний добуток набла – вектора на векторну функцію дає ротор цієї функції:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.