Теорія поля. Основні поняття теорії поля. Скалярне поле. Векторне поле. Оператор Гамільтона (Теоретичний матеріал та контрольні завдання зі зразками вирішення з вищої математики), страница 2

Рисунок 4.3

Приблизно вважатимемо кожний майданчик плоским, а вектор  а постійним

 і однаково направленим в кожній точці майданчика. Тоді за одиницю часу через Si протікає кількість рідини, що приблизно дорівнює  Ki  Hi S, де S -площа і-го майданчика, Hi-висота  i-го циліндра зі створюючою а(Mi). Але Hi є проекцією вектора а(Mi)) на нормаль  п: Hi = а(Mi) , де п — одиничний вектор нормалі до поверхні в точці Mj. Отже, загальна кількість рідини, що протікає через всю поверхню S за одиницю часу, знайдемо, обчисливши суму

К.

Точне значення шуканої кількості рідини набудемо, взявши межу знайденої суми при необмеженому збільшенні числа елементарних майданчиків і наближенні до нуля їх розмірів (діаметрів di майданчиків):

K 

Незалежно від фізичного тлумачення поля а(М) одержаний інтеграл називають потоком векторного поля.

Потоком вектора  через поверхню S називається поверхневий інтеграл 1-го роду по поверхні S від скалярного добутку вектора  на одиничний вектор нормалі до поверхні .

.

Обчислити потік вектора – це обчислити поверхневий інтеграл 1-го роду.

Властивості потоку

1) Потік вектора величина скалярна.

2) Потік змінює знак на протилежний зі зміною орієнтації поверхні (тобто зі зміною орієнтації нормалі  до поверхні S):

,

де  - сторона поверхні S, на якій вибрана нормаль ,  - сторона поверхні S, на якій нормаль .

3) Властивість лінійності:

,

де  і  - числа.

4) Властивість адитивності: якщо поверхня S складається з декількох гладких частин , , ... , то потік векторного поля вектора  через S дорівнює сумі потоків вектора  через поверхні , , ... :

.

Нехай поверхня S замкнена і обмежує деяку область . Візьмемо зовнішню нормаль і розглянемо потік зсередини поверхні S.

Коли векторне поле  представляє поле швидкостей рідини, величина потоку дає різницю між кількістю рідини, що витікає з області , і кількістю рідини, яка впадає в цю область. Якщо К=0, то в область  втікає стільки ж рідині, скільки і витікає. Так буде для будь-якої області, розташованої в потоці води.

Якщо К>0, то витікає рідині більше, ніж втікає, тобто в області  є джерела, що живлять потік рідини.

Якщо К<0, то витікає рідині менше ніж втікає, тоді в області є стоки, де рідина видаляється з потоку.

Приклад 4.4Знайти потік векторного поля  через трикутник, вирізаний з площини Р координатними площинами, в тому напрямку нормалі до площини, який утворює з віссю oz тупий кут. Рівняння площини Р: 2x-y+5z-10=0

Рішення.

Знайдемо орт нормалі  до площини Р:

Оскільки за умовою задачі кут між  і віссю oz тупий, то <0, тому вибираємо знак «-»

, тоді .

Знайдемо :

Тоді, оскільки , то

Рисунок 4.4

4.3.3 Формула Остроградського – Гауса

Якщо в деякій області D простору координати вектора  безперервні і мають безперервні частинні похідні , , , то потік вектора  через будь-яку замкнену поверхню S, розташовану в області D, дорівнює потрійному інтегралу від  по області V, обмеженої поверхнею S, тобто

.

Обчислення потоку за формулою Остроградського – Гауса значно полегшує знаходження потоку, коли поверхня S замкнена.

Приклад 4.5 Знайти потік вектора  через  зовнішню сторону поверхні, що розташована в першому октанті й складається з параболоїда обертання z=x+y, циліндра x+y=1 та координатних площин  якщо  (див. рис. 4.5)

Рисунок 4.5

Рішення. Оскільки  P(x,y,z)=xz,  Q(x,y,z)=xy,  R(x,y,z)=yz,

, то

К = (z + x+ y)dx, dy.dz.

Для обчислення потрійного інтеграла перейдемо до циліндричних координат: x=. Якобіан відображення дорівнює , тому

К=

4.3.4 Дивергенція та ротор векторного поля

Візьмемо деяку точку Р векторного поля , оточимо її замкненою поверхнею S, яка повністю знаходиться в полі. Обчислимо потік вектора  через поверхню S і розглянемо відношення цього потоку до об'єму V області , обмеженої поверхнею S

.

Знайдемо тепер межу відношення

 за умови, що область  стягується в точку Р, тобто що об'єм .

Дивергенцією векторного поля  в точці Р називається межа відношення потоку вектора через поверхню, що оточує крапку Р, до об'єму, обмеженого цією поверхнею, за умови, що вся поверхня стягується в точку Р.

.

Теорема. Дивергенція векторного поля  в точці Р виражається формулою , де частинні похідні беруться в точці Р.

Доведення. За формулою Остроградського-Гауса . Згідно теореми про середнє потрійний інтеграл дорівнює добутку об'єму V на значення підінтегральної функції в деякій точці  області , тобто

.

Якщо область  стягується в точку Р, то точка  прямує до точки Р і тоді

.

З визначення дивергенції виходить, що якщо , то в точці Р – джерело, а якщо , то в точці Р – стік.

Ротором векторного поля

 називається вектор

.

Для зручності запам'ятовування  зручно записувати в символічній формі:

.

Цей визначник розкривається за елементами першого рядка, при цьому операції множення елементів другого рядка на елементи третього рядка розуміються як операції диференціювання, наприклад .

Приклад 4.5 Знайти ротор векторного поля

.

Рішення.

.

4.3.5 Потенціальне поле

Векторне поле   називається потенціальним, якщо існує така функція , що у всіх точках, де поле задано, виконується рівність:

 або , , .

Функція U називається потенціалом векторного поля .

Для того, щоб векторне поле, задане в однозв'язній області V вектором , було потенціальним, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці області, де задано поле, виконувалася умова .

Інакше кажучи, поле потенціальне, якщо виконуються рівності

.

Якщо векторне поле плоске, тобто , то воно потенціальне, якщо , оскільки в цьому випадку .

Якщо поле потенціальне, то криволінійні інтеграли, обчислювані вздовж кривих, що знаходяться в області, де задано це поле, не залежать від шляху інтеграції, а залежать тільки від початку і кінця руху по кривій. Це відбувається, оскільки умова потенціальності поля співпадає з умовою незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтеграції.

Потенціал знаходимо за формулою

.

Потенціал поля визначається неоднозначно, з точністю до постійного доданку, оскільки точка  вибирається довільно. Частіше в якості  беруть (0;0;0), якщо це точка, в якій полі вектора  задано.

Приклад 4.6 Показати, що поле вектора  потенціальне і знайти його потенціал.

Рішення.

Поле вектора  буде потенціальним, якщо =0.

Знайдемо .

Оскільки =0, те поле вектора  потенціальне. Знайдемо потенціал.

4.3.6 Циркуляція векторного поля

Циркуляцією вектора  вздовж замкнутого контура L називається криволінійний інтеграл по цьому контуру від скалярного добутку вектора  на вектор  дотичної до контура:

,

якщо  і , то

 

Додатним напрямом обходу замкненої кривої L вважають напрям, при якому область, обмежена цією кривою, залишатиметься зліва.

В силовому полі вищенаведена формула задає роботу при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L.

Приклад 4.7 Знайти циркуляцію векторного поля  уздовж кола x+y=ax

Рішення.

Рівняння кола зведемо до параметричного вигляду з центром у точці (), тобто

x=;

.

Формула Стокса. Нехай координати вектора  безперервні і мають безперервні частинні похідні, тоді циркуляцію вектора  по замкненому контуру L зручно обчислити за формулою Стокса.

Теорема. Циркуляція вектора  вздовж замкненого контура L дорівнює потоку ротора цього вектора через будь-яку поверхню S, натягнуту на контур L.

.

Передбачається, що орієнтація нормалі  до поверхні S злагоджена з орієнтацією контура L так, щоб з кінця нормалі обхід контура у вибраному напрямі був видний таким, що скоюється проти годинникової стрілки.

З теореми виходить формула Стокса:

,

де  - проекції поверхні S на площині YOZ, XOZ, XOY.

Окремим випадком формули Стокса, коли поле вектора  пласке, буде формула Гріна.

Якщо поле вектора  плоске, то

,

,

оскільки =0 і =0.

Тоді у формулі Стокса =0 і =0 і

.

Приклад 4.8

Знайти циркуляцію вектора а =(5x+4y; 10x+3y) вздовж контура прямокутника, обмеженого лініями: x=0; y=0;x=2;y=3.

Рішення

Обчислимо інтеграл

 Ц=

.

4.4 Оператор Гамільтона

Багато операцій векторного аналізу можуть бутизаписані в скороченій і зручній для розрахунків формі за допомогою символічного оператора Гамільтона «набла».

.

В цьому операторі сполучені диференціальні і векторні властивості. Формальне множення  на функцію U(x;y;z) розуміють як частинне диференціювання .

Правила дії з оператором «набла» такі:

1) Добуток набла – вектора  на скалярну функцію U(x;y;z) дає градієнт цій функції:

.

2) Скалярний добуток набла - вектора  на векторну функцію  дає дивергенцію цієї функції:

3) Векторний добуток набла – вектора  на векторну функцію  дає ротор цієї функції: