Расчет нелинейной цепи методом последовательных приближений

L. 625. «Электротехника»                                                                                   Аксютин В.А.

Расчет нелинейной цепи методом последовательных приближений.

1. Линейная аппроксимация нелинейных характеристик

 

а                                                                   б

Рис. 1

 

а                                                                   б

Рис. 2

Рассмотрим в качестве примера нелинейную цепь рис. 1а. Пусть известны ВАХ нелинейных элементов (например, HC₁ - лампы накаливания, рис. 2а и HC₂ – диода,  рис. 2б). Пусть также известны режимы работы нелинейных элементов HC₁ в точке «а» рис 3а, и HC₂ в точке «в» рис 4а, например, значения токов I_1a и I_2в. Проведём касательные  в точках «а» и «b» и продолжим до пересечения с осью абсцисс. В точках пересечения получим значения ЭДС E₀₁ (рис 3а) и E₀₂ (рис 4а).

Определим в точках «а» и «b» дифференциальные сопротивления для первого и второго нелинейных элементов (рис. 3а и 4а):

R_д1 =                 и                       R_д2 = .                                                          (1)

 

а                                                                   б

Рис. 3

 

а                                                                   б

Рис. 4

Таким образом, в точках «а» и «в» нелинейные характеристики элементов и HC₂, можно представить линейными характеристиками, которые выражается уравнениями:

●  характеристика HC₁ -                    U_HC1(I₁)= I₁·R_Д1 - E₀₁ ;                                              (2)

●  характеристика HC₂ -                    U_HC2(I)= I·R_Д2 + E₀₂.                                                   (3)

Полученные уравнения позволяют получить линейные схемы замещения для соответствующих нелинейных характеристик (рис. 3б и рис. 4б).

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь, например, рис 1а можно представить линейной рис 1б и рассчитывать методами, применяемыми для расчета линейных цепей.

Для примера рис 1б

U₁₂ =   ;                                                                                                      (4)

I₁ =  ;       I₂ = ;        I₃ =  ;                                    (5)

Однако, после нахождения токов в цепи нужно убедиться, что нелинейныеt элементы действительно будет работать вблизи рабочих точек  «а» и «b» ВАХ элементов.

2.  Метод последовательных приближений (итераций)

Метод последовательных приближений основан на линейной аппроксимации нелинейных характеристик. Применяется для расчёта сложных цепей. Суть его заключается в предварительном выборе ожидаемых начальных значений токов или напряжений на нелинейных элементах и затем последовательной их проверки и уточнении.

Порядок расчёта:

1. В исходной цепи предварительно задаются величины токов или напряжений в нелинейных сопротивлениях. Для примера токи I₁ =  и I₂ =

2. По ВАХ сопротивлений в рабочих точках нелинейных сопротивлений определяются параметры линейных зависимостей U_HC1(I₁)= I₁·R_Д1 - E₀₁ , U_HC2(I)= I·R_Д2 + E₀₂. и схемы замещения нелинейных элементов. Для примера рис. 3 и 4 это R_Д1,  E₀₁, R_Д2 и E₀₂.

3. Строится линейная схема замещения исходной цепи. Для примера схема приведена на рис. 1а.

4. По линейной схеме замещения любым известным методом рассчитываются уточнённые значения токов в нелинейных сопротивлениях. Для примера схема рис. 1а рассчитывается методом двух узлов по соотношениям (4) и (5) токи I₁ =  и I₂ = .

5. Задаётся величина погрешности расчёта ε. Проверяется погрешность расчёта. Для примера:

 ≤ ε       и                                                                           ≤ ε

Если условия выполняется, то процесс расчёта заканчивается в противном случае в расчёт задаются вновь рассчитанные величины токов, в примере это   I₁ =  и I₂ =  и процесс расчёта повторяется.