Нахождение пересечения клофоиды и функции у=а*х для произвольного а

Найдем пересечение клофоиды с заданной  прямой (рассмотрим частный случай,когда а=1/2

Используем метод дихотомии.

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define eps 1e-5

#define eps2 1e-7

#define pi 3.1415

double fun1(double u)

{return cos(u*u*pi/2);}

double fun2(double u)     

{return sin(u*u*pi/2);}

double pr(double x)

{ return x/2; }

int main (void){

double h,l,x0=0,x1=28e0,sum1,sum2=0,sum11,sum22=0,r,s,a=1,A=0,B=1,xr;

            int i,n=2;

            FILE *f1;

do{

f1=fopen("kornut.dat","w+");

if(sum2!=0) n*=2;

h=(x1)/n;

sum2=sum1;

sum22=sum11;

sum1=0;

sum11=0;

for(i=0;i<=n;i++)

{

  sum1+=h*fun1(x0+i*h);//x

  sum11+=h*fun2(x0+i*h);//y

  fprintf(f1,"%f %f\n",a*sum1,a*sum11);

   xr=(A+B)/2   ;

        if(sum1=(A+B)/2) {

        if(  sum11=A && (sum11-pr(A))*(sum11-pr(sum1))<0 ) A=sum1 ;

        if(  sum11=B && (sum11-pr(B))*(sum11-pr(sum1))<0)  B=sum1 ;

}

}

if(sum2==0) sum2=sum1+4*eps;

if(sum22==0) sum22=sum11+4*eps;

fclose(f1);

r=sum2-sum1;

s=sum22-sum11;

 }

while( (A-B)>=eps2);

printf("точкa пересечения спирали корню с заданной кривой %1.5f %1.5f\n", sum1,sum11);

}

 Сравним полученное значение с тем, которое можно найти сразу в программе

  Ответ: x=1.2, y=0.6

 1. Написать программу для приближенного интегрирования задачи Ко-

ши, используя методы Эйлера и Рунге-Кутты для:

   (a)   обыкновенного дифференциального уравнения    

Метод Эйлера

 Уравнение вида:  2xy'+y=2x^3

  приведем к стандартному виду   y'=F(x,y), т.е

                                                       y'=(2x^3-y)/2x

Текст программы:

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define eps 1e-2

double f(double x,double y)

{

return (2*x*x*x-y)/(2*x);

}

int main(void){

double x0=1.0,xn=2.0,y=0.0,y1=9/7,y2=0.0,h,x,r;

int n=1000000,i=0;

for (i=0;i<n;i++)

 {

          h=(xn-x0)/n;

          if (y2!=0) { y1=y2; }

          else y1=9/7;

          y2=y1+h*(f(x0+i*h,y1)+f(x0+i*h,y1+h*f(x0+i*h,y1)))/2.0;

}

printf("Решение задачи Коши=%1.5f\n",y2);

}

Нарисуем график решения уравнения:

Метод Рунге-Кутте

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define eps 1e-2

double f(double x,double y)

{

return (2*x*x*x-y)/(2*x);

}

int main(void){

double x0=1.0,xn=2.0,y=0.0,y1=9/7,y2=0.0,h,x,r,k1,k2,k3,k4;

int n=100000,i=0;

for (i=0;i<n;i++)

 {

          h=(xn-x0)/n;

          if (y2!=0) { y1=y2;  }

          else y1=9/7;

          //printf("%d\n",n);

          y2=y1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

        k1=h*f(x0+i*h,y1);

        k2=h*f(x0+i*h+h/2,y1+k1/2);

        k3=h*f(x0+i*h+h/2,y2+k1/2);

        k4=h*f(x0+i*h+h,y1+k3/2);

          r=y2-y1;

}

printf("Решение задачи Коши=%1.5f\n",y2);

}

И график решения уравнения:

 Построим график,который наглядно покажет ошибку двух способов решения уравнения.

Текст необходимой программы:

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define eps 1e-2

double f(double x,double y)

{

return (2*x*x*x-y)/(2*x);

}

int main(void){

FILE *EK;

EK=fopen("eilerkytte.dat","w+");

double x0=1.0,xn=1.0,yk=0.0,y1k=9/7,y2k=0.0,h,k1,k2,k3,k4,l;

double ye=0.0,y1e=9/7,y2e=0.0;

int n=1000000,i=0;

while(xn<=2)

{

for (i=0;i<n;i++)

 {

         h=(xn-x0)/n;

            if (y2k!=0) { y1k=y2k; y2k=0; }

            else y1k=1;

            y2k=y1k+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

        k1=h*f(x0+i*h,y1k);

        k2=h*f(x0+i*h+h/2,y1k+k1/2);

        k3=h*f(x0+i*h+h/2,y2k+k1/2);

        k4=h*f(x0+i*h+h,y1k+k3/2);

            if (y2e!=0) { y1e=y2e; y2e=0; }

            else y1e=1;

            y2e=y1e+h*(f(x0+i*h,y1e)+f(x0+i*h,y1e+h*f(x0+i*h,y1e)))/2.0;

//xn+=0.01;

l=fabs(y2e-y2k)/fabs(y2k);

}

xn+=0.01;

fprintf(EK," %e %e\n",xn,l);

}

fclose(EK);

}

Построим график функции :

  |ye-yr|/|yr|

,где   ye- значение полученное методом Эйлера

         yr-значение полученное методом Рунге-Кутта|

    1. Написать программу для приближенного интегрирования задачи Ко-

ши, используя метод Рунге-Кутты для:

  (b)  системы ОДУ                                            

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define eps 1e-2

double f1(double x,double y)

{

return 2*x;

}

double f2(double x,double y)

{

return 3*x-2*y;

}

double f3(double y,double z)

{

return 2*y+z;

}

int main(void){

FILE *DF;

DF=fopen("sistema2.dat","w");

double xn=4.0,x0=4.0,yx=0.0,yx1=1.0,yx2=0.0,h,x,r,k1,k2,k3,k4;

double yn=8.0,y0=8.0,yy=0.0,yy1=1.0,yy2=0.0,l1,l2,l3,l4;

double zn=-7.0,z0=-7.0,yz=0.0,yz1=1.0,yz2=0.0,m1,m2,m3,m4;

int n=1000000,i=0;

while(xn<=20 && yn<=20 && zn<=20)

{

for (i=0;i<n;i++)

 {

          h=(xn-x0)/n;

          if (yx2!=0) { yx1=yx2; yx2=0; }

          else yx1=4;

if (yy2!=0) { yy1=yy2; yy2=0; }

          else yy1=8;

if (yz2!=0) { yz1=yz2; yz2=0; }

          else yz1=-7;

yx2=yx1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

        k1=h*f1(x0+i*h,yx1);

        k2=h*f1(x0+i*h+h/2,yx1+k1/2);

        k3=h*f1(x0+i*h+h/2,yx2+k1/2);

        k4=h*f1(x0+i*h+h,yx1+k3/2);

yy2=yy1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

        k1=h*f2(x0+i*h,yy1);

        k2=h*f2(x0+i*h+h/2,yy1+k1/2);

        k3=h*f2(x0+i*h+h/2,yy2+k1/2);

        k4=h*f2(x0+i*h+h,yy1+k3/2);

yz2=yz1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

        k1=h*f3(x0+i*h,yz1);

        k2=h*f3(x0+i*h+h/2,yz1+k1/2);

        k3=h*f3(x0+i*h+h/2,yz2+k1/2);

        k4=h*f3(x0+i*h+h,yz1+k3/2);

} 

fprintf(DF,"%f %f %f\n",yx2,yy2,yz2);

xn+=0.1;

yn+=0.1;

zn+=0.1;    

}

printf("РешениезадачиКоши=%1.5f %1.5f %1.5f\n",yx2,yy2,yz2);

fclose(DF);

}

График Z(x)

 График y(x)

График z(y)