Моделирование на ЭВМ. Виды моделирования. Математическое моделирование динамических систем. Моделирование на ЦВМ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ

ВИДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

    При выполнении моделирования определяется тип системы подлежащей моделированию. Все объекты исследования при этом рассматриваются с точки зрения системного подхода. Системный подход предполагает выделение в объекте значимых параметров В вектора возмущающих воздействий U, вектора шумов V, а также векторов состояния X, наблюдения Y, внутреннего состояния Z, которые находятся в области задач.

    В технической кибернетики для упрощения вычислений принимается пространство задач BZ,лежащее в евклидовом пространстве или банаковом пространстве. Евклидово пространство характеризуется прямоугольной системой координат, для которой неравенство Коши-Кониковского переходит в равенство. В этом случае система может определяться, как Декартово произведение векторов. Система может быть описана в виде функции:

                                        

или, в общем случае, в виде функционала:

                                      X=A[x, V].

    Система предполагает:

-  возможность декомпозиции;

-  возможность интеграции;

-  возможность модульного представления;

-  функциональность отдельных элементов;

-  и наличие целевой функции.

ТИПЫ СИСТЕМ

    В зависимости от выбранной классификации системы могут подразделяться по:

1.  размерностям:

-  одномерные;

-  двумерные;

-  многомерные.

2.  протеканию процессов:

-  статические системы;

-  динамические.

3.  изменению значения параметров:

-    стационарные;

-  нестационарные (стохастические).

4.  природе реализации:

-  электрические;

-  физические;

-  химические;

-  биологические;

-  социальные и др.

 Целью моделирования можно назвать процесс замещения системы одного типа с системой другого типа функционирования, природы или описания для обеспечения лучшей наглядности и выяснения механизма функционирования.

Моделирование на ЭВМ – это реализация какой-либо системы какой-либо системы в виде системы функционирования ЭВМ:

а) дискретная реализация мат. модели для ЭВМ;

б) реализация в виде электрических процессов для аналоговой вычислительной машины (АВМ).

МАТИМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

    Большинство технических систем описывается динамическими моделями 1, 2 и более высоких порядков. Общий вид динамической системы обычно записывается путем учета производной по вектору состояний в зависимости от других параметров.

                                                    

    За такой системой выполняется наблюдение с помощью уравнения наблюдения:

                                          Y(t)=d(x, V)

V – вектор шумов.

    Для систем, которые описываются динамическими уравнениями высоких порядков, используется матричное представление:

              ,                      .

    В случае, если система линейна по параметрам, то последнее уравнение можно записать в виде произведений матриц:

                            

А – матрица коэффициентов.

    Эта же система может быть записана в виде n уравнений 1-го порядка (стандартная форма Коши):

                                                

    На ЭВМ интегрирование диф. уравнений может быть выполнено с помощью формулы дискретного интегрирования Коши.

    Интегрирование по методу Коши заключается в следующем: для уравнения  производная  находится как разность значений , отнесенная к разнице аргумента х₂ – х₁ , что при минимизации последней соответствует определение производной:

                                 

h – шаг интегрирования.

    Если переменные состояния х₁ , х₂  и т.д. будут соответствовать различным временным интервалам, то можно с изменением параметров А и В получить:

                            

    Таким образом, система диф. уравнений может быть описана в виде системы конечноразностных уравнений, которые легко реализуются на ЦВМ.

    Моделирование динамических систем на АВМ не требует обязательного перевода в дискретную форму, т.к. содержат динамические элементы в своем наборе.

Пример:

  Необходимо произвести декомпозицию на элементы АВМ динамической системы 2-го порядка.

      

                    

    Запишем в форме Коши:

                                                        (1.1)

    

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ С УЧЕТОМ ЗОНЫ НЕЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

    Все измерительные приборы имеют определенный порог чувствительности. Рассмотрим в качестве измерительного устройства датчик линейных ускорений.

Система 1.1 полностью описывает динамику процесса за исключением уравнения наблюдения.

                                                                    (3.2)

    

    Переключение различных коэффициентов усиления осуществляется в электронном виде мультиплексором, который коммутирует сигналы в одном или разных направлениях при заданном адресе коммутации. Мультиплексоры бывают дискретные и аналоговые (ключи).

    Зарисуем структурную схему моделирования

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЦВМ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

    Основным рядом машин предназначенных для моделирования и управления были машины серии СМ (СМ-2, СМ-4 и др). Особенностью их являлась работа в многозадачном режиме и режиме реального времени, под управлением операционной системой ОС-РВ. Это важно для процессов, привязанных ко времени таких как интегрирование динамических величин.

    Простейшим видом моделей является визуализация. Для набора статических данных х, у можно построить ломанную прямую.

 

х	х1	х2	х3
у	у1	у2	у3

                                                                                                                                                                                                            

   Второй этап визуального моделирования – интерполяция кривой. Для этого используется:

1)  интерполяционный полином Лагранжа;

2)  интерполяционный полином Фурье.

    Третий шаг – построение трехмерных графиков.

    Четвертый этап – 3Д технологии (затенение объекта). Формирование полутоновых пикселей требует большого времени вычислений.