Примеры вопросов и задач по линейной алгебре, которые могут быть на экзамене

ПРИМЕРЫ ВОПРОСОВ И ЗАДАЧ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ НА ЭКЗАМЕНЕ

(2007)

/Тема «Матрицы и определители»/

1. Даны матрицы А, В. Найти АВ и ВА, если соответствующие произведения имеют смысл.
2. Даны матрицы А, В. Найти А²-2В+3Е.
3. Дана квадратная матрица А. Найти А^Т-2Е.
4. Привести пример квадратной матрицы А  третьего порядка, отличной от единичной. Найти А^Т.
5. Дана квадратная матрица  3-го порядка. Вычислить ее определитель.
6. Дана квадратная матрица  3-го порядка. Вычислить ее определитель любым способом, кроме правила треугольников.
7. Дана квадратная матрица  3-го порядка. Вычислить ее определитель разложением по заданной строке (столбцу).
8. Дана квадратная матрица  3-го порядка. Найти алгебраическое дополнение элемента, стоящего в третьей строке и во втором столбце.
9. Привести пример невырожденной  матрицы  2-го порядка.
10. Привести пример вырожденной  матрицы.
11. Дана квадратная матрица  3-го порядка. Является ли она 

а) вырожденной? б) симметричной?

12. Дана квадратная матрица А 3-го порядка. Найти обратную матрицу.
13. Даны квадратные матрицы А и В (2-го или 3-го порядка). Не вычисляя А^-1 , проверить, является ли матрица В обратной для матрицы А.
14. Дана квадратная матрица А (2-го или 3-го порядка). Выяснить, существует ли для нее обратная матрица.

/Тема «Системы линейных уравнений»/

15. Привести пример ступенчатой системы линейных уравнений. Записать расширенную матрицу этой системы.
16. Решить систему линейных уравнений методом Крамера (количество уравнений и неизвестных либо 2, либо 3).
17. Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса (количество уравнений 2-4).
18. Привести пример однородной системы линейных уравнений с симметричной матрицей коэффициентов.
19. Привести пример несовместной системы линейных уравнений.

/Тема «Векторы»/

20. Даны векторы А=(-2; 1; 4; -1), В=(3; 0; 2; 1). Найти длины этих векторов и  скалярное произведение .
21. Даны векторы А=(-2; 1; 4; -1), В=(3; 0; 2; 1). Найти их сумму (разность) и скалярное произведение.
22. Известно, что длина вектора А равна 2, длина вектора В равна 1, а скалярное произведение этих векторов . Найти скалярное произведение

.

23. Являются ли векторы А=(1;-2;0;-1) и В=(0;2;3;-4) ортогональными?
24. Привести пример линейно зависимого набора из трех векторов в R³ .
25. Привести пример линейно независимого набора из двух векторов в R⁴.
26. Являются ли линейно независимыми следующие наборы векторов:

а)  ,    ,   ;        б)   ,   ,     ?

27.  Является  ли линейно зависимым набор векторов

      Х₁=(-1; 1), Х₂=(1; 0), Х₃=(21; 13)?

28. Привести пример линейно зависимого набора из 2-х векторов  в R³.
29. Привести пример линейно зависимого набора  векторов  в R².
30. Привести пример линейно независимого набора векторов в R².
31. Изобразить графически какой-либо линейно независимый набор векторов в R².
32. Изобразить графически какой-либо линейно зависимый набор векторов в R².
33. Найти собственные значения матрицы .
34. Записать матрицу квадратичной формы .