Зворотні кругові тригонометричні функції, страница 2

і знайдемо

При рішенні прикладів 1 і 2 суму арксинусів можна виразити не тільки   через арксинус, а і через будь-яку іншу зворотну тригоно-

метричну  функцію. Дійсно, при відповідно  маємо

Звідси знаходимо

Тоді

або

одержуємо

Звідси

Оскільки

З огляду на цю умову, при п = I (інші   значення не   удовлетвори-ют умові) знаходимо

По цій формулі в прикладі

а в прикладі 2

Аналогічно,   для   суми

з огляду на, що

і позначаючи

або

1 одержуємо

одержуємо

Застосовуючи формулу (15.4) до лівої частини цієї рівності, знаходимо

або

3.  Знайти суму

Використовуючи попередню формулу, записуємо

4.  Знайти різниця arccos
 Позначимо

і знайдемо

Виходить,

 'Ч

І- І Оскільки  те   і

Тоді

Застосовуючи до лівої частини рівності (1) формулу (15.2), одержуємо а = -

IIIIИ

б. Обчислити ho формулі   (15.11)   з обліком того, що одержуємо

;

Аналогічно складаємо

6. Довести, що По формулі (15.15) з обліком  того,   що  знаходимо суму

Аналогічно складаємо

З огляду на, що  одержуємо

15.5. Формули подвоєння зворотних тригонометричних функцій і розподілу їх на два

Приведемо формули подвоєння зворотних тригонометричних функцій:

 (15.17)

 (15.18)  (15.19)

Формули   розподілу   зворотних   тригонометричних   функцій   на два мають вигляд

 (15.20)

 (15.21)  (15.22)

Розглянемо приклади.

1.   Обчислити

По формулі (15.17) з обліком   того,   що знаходимо

2.    Обчислити

По формулі (15.19) з обліком того, що —2<—1, знаходимо

 !

З огляду на, що по формулі (15.18) одержуємо

Тоді

3.   Обчислити Застосовуючи формулу (15.19), знаходимо

15.6. Тотожні перетворення

с зворотними тригонометричними функціями

Приведемо приклади виконання    тотожних   перетворень виражень, що містять зворотні тригонометричні функції.

1.   Обчислити

Знайдемо

 /

і

Тоді

2.  Обчислити

Виконаємо перетворення:

3.  Довести, що

По формулі (15.17) знаходимо

Аналогічно

За допомогою формули (15.16) знаходимо

4.  Довести, що

По формулі (15.11) знаходимо

Використовуючи тотожність (15.9), одержуємо

т. е,

15.7. Рішення рівнянь і нерівностей, що містять зворотні тригонометричні функції

Приведемо приклади рішення рівнянь і нерівностей зі зворотними тригонометричними функціями.

1, Вирішити рівняння                         І

Оскільки дане рівняння визначене  при

частина його обмежена:

мати рішення, що   належать  інтервалові

Якщо аргументи рівні, то синуси їх також рівні, т. е,

відкіля одержуємо

Вирішуючи це рівняння, знаходимо

2. Вирішити рівняння

Якщо аргументи рівні, то і їхніх тангенсах рівні:

З цього вираження одержуємо

3. Вирішити рівняння

Рівняння     визначене     при

З огляду на, що рішенням рівняння може бути   тільки  негативне \ значення х, знаходимо

або

відкіля

Узявши косинус від обох частин рівняння, одержимо

або

Після зведення  обох частин рівняння в квадрат і спрощень знаходимо

отже, Значення  не   є

рішенням рівняння.    Тому

4. Вирішити рівняння і Представимо рівняння у виді

Застосовуючи до правої частини  цього рівняння формулу (15.9), одержуємо

Тому що те рішеннями можуть бути тільки ті значення х,

при яких  Тоді   по  формулі   (15,5)

приведене рівняння можна записати у виді

^відкіля випливає, що

Ііосле зведення обох частин цього рівняння в квадрат одержуємо

або

ґ Значення не є   рішенням рівняння.  Тому

^год

5.  Вирішити нерівність
 Застосовуючи формулу (15.9), одержуємо

відкіля випливає, що або

Узявши косинус від обох частин   подвійної   нерівності   і   врахувавши,   що cos* на розглянутому інтервалі убуває, знайдемо або

6.  Вирішити неравенствоДанное нерівність
 визначена при умовах

або

Звідси  знаходимо

Оскільки арксинус — функція зростаюча, та дана нерівність рівносильна нерівності