Властивості бета та гамма функцій Ейлера

Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний університет

ім. В.Г.Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу та інформатики

Властивості бета та гамма функцій Ейлера

Курсова робота студентки гр.М-41 денної форми навчання

Одай Людмили Олександрівни

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук доц. Губачов Олександр Павлович

Полтава - 2004

Змiст

Вступ                                                                                                     3

§1 Бета функцiя.                                                                                             4

§2 Властивостi Ейлерової функцiї бета.                                                      5

§3 Гамма функцiя.                                                                                          7

§4 Властивостi Ейлерової функцiї гамма.                                                   9

§5 Звязок мiж бета i гамма функцiями.                                                        11

§6 Приклади.                                                                                                   14

§7 Наближене обчислення Ейлерових функцiй на ЕОМ.                           16.

Таблицi для наближених обчислень функцiї гамма.                        18

Графiк функцiї гамма.                                                                         22

Висновки.                                                                                              23

Список лiтератури.                                                                              24

ВСТУП

У прикладній математиці існуєвелика кількість задач , які можна розв’язувати за допомогою спеціальних функцій , а наявність ЕОМ помітно  полегшує роботу з останніми .

У даній курсовій роботі ми розглядаємо спеціальні Ейлерові функції бета та гамма. Для початку вводимо їх означення . Вивчаємо властивості цих функцій. Розглядаємо  взаємодію між функціями бета та гамма, тобто вираження однієї функції через іншу. Наводимо деякі конкретні приклади використання вище вказаних функцій. Та розглядаємо їхні графіки.

А також , висвітлюємо проблему наближеного обчислення Ейлерових функцій бета та гамма на ЕОМ. Ця проблема на сьогодення є актуальною. Адже, все більше популярними стають методи роботи , при яких аналітичні операції виконуються на ЕОМ; природним є те, що при цьому роль спеціальних функцій дуже велика. Отже, на даний час математичне забезпечення будь-якої сучасної ЕОМ повинно включати велику кількість стандартних програм для роботи з багатьма класами спеціальних функцій.

§1 Бета функція Ейлера.

Інтеграл Ейлера першого роду. Так називається (за пропозицією Лежандра) інтеграл виду

 

(1)

де а, b>0. Він представляє функцію,що залежить від двох змінних параметрів а і b, i називається бета функцiєю Ейлера.

Розглянутий інтеграл, як ми знаємо, для додатніх значень а і b (хоча б для тих , які менші одиниці) збігається і, отже, дійсно може бути покладений в основу визначення бета функції.

§ 2 Властивості Ейлерової функції бета.

1.В (а, b) = B(b, а),

Доведення:

насамперед, майже безпосередньо (підстановкою х=1 — t) одержуємо:

В (а, b) = B(b, а),

так що функція В є симетричною відносно а і b.

2°.

Доведення:

За допомогою інтегрування за частинами з формули (1), при b>1, знаходимо: Ми використовуємо при цьому тотожність

(2)

Цю формулу можна застосовувати з метою зменшення b, поки b залишається більше 1; у такий спосіб завжди можна досягти того, щоб другий аргумент став < або = 1.

Утім, того ж можна досягти й у відношенні першого аргументу, тому що через симетричність бета функцiї — має місце й інша формула:

 

Якщо  b дорівнює натуральному числу п,   то,  послідовно застосовуючи формулу (2), знайдемо:

Тому для бета функцiї (а, п)і — одночасно — для бета функцiї (n, а)  отримуємо остаточний вираз

(3)

Якщо й а дорівнює натуральному числу т, то

Цю формулу можна застосовувати і при т=1 чи п=1, якщо під символом 0! розуміти 1.

3.

Доведення:

дамо для функції бета інше аналітичне представлення, що часто буває корисно. Саме, якщо в інтегралі (1) зробити підстановку х= y/(1+y) , де у — нова змінна, що змінюється від 0 до нескінченності , то  одержимо

 

(4)

поклавши тут b=1-а (з припущенням, що 0<а<1), знайдемо

 

Ми впізнаємо вже обчислений  інтеграл, який також пов’язаний з ім'ям Ейлера.  Підставляючи його значення, приходимо до формули

 

(5)

Якщо, зокрема, узяти

 

то отримаємо

Ми обмежимося цими властивостями функції бета тому, що — як побачимо нижче — вона дуже просто виражається через іншу функцію — гамма, на якій ми зупинимося докладніше.

§3 Гамма функція.

Інтеграл Ейлера другого роду. Ця назва була надана Лежандром чудовому інтегралу:

(6)

який збігається при будь-якому а > 0 (при а < або = 0  інтеграл розбіжний)  і визначає функцію гамма Ейлера. Функція гамма, після елементарних, є однієї з найважливіших функцій для аналізу і його додатків. Вивчення властивостей функції гамма, виходячи з її інтегрального означення (6), послужить одночасно і прекрасним прикладом застосування викладеної теорії інтегралів, що залежать від параметра.

Якщо  покласти в (6)

Як відомо ,

причому вираз  n(1—z^1/n) при зростанні п прямує до своєї границі зростаючи *). У такому випадку,

чи — якщо застосувати підстановку  z=y":

але згідно з (3)

Таким чином, остаточно,   приходимо до знаменитої формули Ейлера — Гаусса:

Цю формулу Ейлер ще в 1729 р. повідомив у листі до Гольдбаха, але вона була забута. Гаусс  саме її поклав згодом в основу самого визначення функції

*) В цьому можна переконатися методами диференційного числення , розглядаючи вираз  1-z^α/α як функцію від α .