Решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями. Решение линейного дифференциальное уравнение четвертого порядка с правой частью

Файл САМРаботы02\САМ03а.doc              4 стр.              2.74 МБ                                                                                                     

1.1. Решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями.

1.2. Решение линейного дифференциальное уравнение четвертого порядка с правой частью

Пример 3.

Решить систему дифференциальных уравнений

,

с начальными условиями

Перед нами нелинейная система дифференциальных уравнений. Первое из  них уравнение второго порядка. Второе уравнение третьего порядка. Нелинейность обусловлена наличием двух функций f₁(x₂)  и f₂(x₁).

Этап I.

Разрешим оба уравнения относительно переменной старшего порядка

Этап II.

Составим две цепочки из последовательно включенных интеграторов. Для первого уравнения двух, второго – трех, в соответствии с порядком уравнений.

   Рис. П3.1. Цепочки интеграторов.

Превратим их в подсистемы.

   Рис. П3.2. Подсистемы «Интеграторы» уравнений.

После создания подсистем их необходимо открыть и разметить. Обозначить блоки In и Out именами в соответствии с рис. 2.

Этап III.

На третьем этапе разработки модели системы дифференциальных уравнений сформируем блок-схемы правых частей этих уравнений. При формировании блок-схем правых частей уравнений мы будем использовать модули Sum и Product.

Выберем эти модули из соответствующих разделов библиотеки, перенесем их в окно-заготовку и соединим  линиями связи в соответствии с логикой работы модели. Для удобства их дальнейшего использования превратим эти блок-схемы в подсистемы.

Выделим при помощи рамки блок-схемы правых частей уравнений и воспользуемся командой Create Subsystem из меню Edit.

Откроем образованные подсистемы и разметим их. Модули In и Out SIMULINK присоединит автоматически при формировании подсистем из блок-схем.

   Рис. П3.3а. Блок-схема правой части первого уравнения.

   Рис. П3.3б. Блок-схема правой части второго уравнения.

Вид подсистем, созданных из блок-схем правых частей уравнений, представлен на рис. П3.4.

   Рис. П3.4. Подсистемы правых частей уравнений.

Этап IV.

Произведем замыкание обратных связей, соответствующих правым частям уравнений (объединим созданные подсистемы) и получим блок-схему модели решения системы дифференциальных  уравнений.

Разрешенная относительно старшей производной система уравнений.

   Рис. П3.5. Блок-схема модели решения системы дифференциальных уравнений[1].

Пример 4.

Пусть, к примеру, требуется решить линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с правой частью

                                                 (02)

Соберем это решение в модулях SIMULINK.

Этап 1.

Начнем с того, что разрешим его относительно старшей производной

                                                 (03)

Этап II.

Для решения левой части уравнения составим цепочку из 4 последовательно соединенных интеграторов.

       

   Рис. П4.1. Цепочка интеграторов.

Этап III.

На третьем этапе сформируем блок-схему правой части уравнения.

   Рис. П4.2. Блок-схема решения правой части уравнения.

Этап IV.

Произведем замыкание обратных связей, соответствующих правой части уравнения  и получим блок-схему модели решения системы дифференциальных  уравнений.

   Рис. П4.3. Блок-схема модели линейного дифференциального уравнения[2].

Для решения дифференциального уравнения нами использованы 4 интегратора, 1 сумматор и 4 усилителя и из раздела Linear  библиотеки SIMULINK и один источник возмущения, в качестве которого использован модуль Constant из раздела библиотеки Sources.