Приближение функций рядами Фурье, расчетно-графическое задание

Министерство Образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет) им. Г. В. Плеханова

Кафедра высшей математики

Расчетно-графическое задание №1

по дисциплине: высшая математика

Тема: Приближение функций рядами Фурье

Выполнил: студент группы ТО-02       _________     Исиченко А.С.                                                                                                                   (подпись)                                   (Ф. И. О)

Оценка:____________

Дата:_______________

Проверил: профессор      __________          Господариков А.П.

                                   (должность)                         (подпись)                               (Ф. И. О)

Санкт-Петербург

2004

Задание:

1.  Найти коэффициенты ряда Фурье для заданной функции на заданном промежутке.

2.  Оставить в получившемся ряде 3 гармоники(n=3)

3.  Вычислить среднеквадратическую погрешность

4.  Начертить:

- график первой гармоники

- график второй гармоники

- график третьей гармоники

-  график приближенной функции и график самой функции.

Исходная функция

Решение:

 Функция определена на отрезке  и имеет конечное число точек разрыва , следовательно, для данной функции выполнены все условия теоремы Дирихле. Следовательно, данную функцию можно разложить в ряд Фурье.

Т.к. функция определена на промежутке (l-любое положительное число) и является четной, тогда можно показать, что разложение функции в ряд Фурье на данном промежутке имеет вид:

где коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам:

 

 

 

Применим эти формулы для данной функции

1.  вычисляем

Из построенного графика видно, что функция обладает свойством четности, поэтому b=0  (n=1,2,3….);

2.  вычисляем , применяя формулу интегрирования по частям

Таким образом,

;;

 следовательно  исходная функция разложится в ряд Фурье:

Для построения приближающей функции представим три  гармоники:

1. 

2. 

3. 

Можно предположить, что сумма этих гармоник будет приближаться к данной функции с погрешностью