Решение линейных уравнений методом простой итерации c помощью программы Microsoft Excel

Министерство общего образования

Российской федерации

Уральский государственный технический университет-УПИ

филиал в г.Краснотурьинске

Кафедра вычислительной техники

Курсовая работа

По численным методам

Решение линейных уравнений методом простой итерации

c помощью программы Microsoft Excel

Руководитель                                                                                        Кузьмина Н.В.

Студент                                                                                                 Нигматзянов Т.Р.

Группа                                                                                                   М-177Т

2002

Задание.

          Тема: «Нахождение с заданной точностью корня уравнения F(x)=0 на промежутке [a;b] методом простой итерации».

          Контрольный пример: 0,25-х+sinx=0

          Условия задачи: для заданной функции F(x) на интервале [0,5;2] найти корень      уравнения F(x)=0 методом простой итерации.

          Корень вычислить дважды(с помощью автоматического и ручного расчета).

          Предусмотреть построение графика функции на заданном интервале.

Содержание.

Введение                                                                                                       4

1.Теоретическая часть                                                                                    5

2.Описание хода работы                                                                                7

3.Входные и выходные данные                                                                    8

Заключение                                                                                                  9

Приложение                                                                                                 10

Библиографический список                                                                       12

Введение.

          В ходе данной работы мне необходимо ознакомиться с различными методами решения уравнения и найти корень нелинейного уравнения 0,25-х+sin(x)=0 численным методом – методом простой итерации. Для проверки правильности нахождения корня необходимо решить уравнение графически ,найти приближенное значение и сравнить его с полученным результатом.

1.Теоретичесакя часть.

Метод простой итерации.

          Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0 (корня уравнения). Каждый такой шаг называется итерацией.

          Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде: х=j(х), т.е. выделяется х; j(х) – непрерывна и дифференцируема на интервале (а; в). Обычно это можно сделать несколькими способами:

Например:

arcsin(2x+1)-x²=0                    (f(x)=0)

Способ 1.

arcsin(2x+1)=x²

sin(arcsin(2x+1))=sin(x²)

2x+1=sin(x²)

x=0.5(sinx²-1)                         (x=j(x))

Способ 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x²              (x=j(x))

Способ 3.

x²=arcsin(2x+1)

x=                    (x=j(x)),знак берется в зависимости от интервала [а;b].

          Преобразование должно быть таким, чтобы ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу [a;b].В таком случае процесс итерации сходится.

Пусть известно начальное приближение корня x=c₀.Подставляя это значение в правую часть уравнения x=j(x),получаем новое приближение корня:c=j(c₀).Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в x=j(x),получаем последовательность значений

             c₂=j(c₁)

…

c_n=j(c_n-1)    n=1,2,3,…

Процесс итераций следует продолжать до тех пор,пока для двух последовательных приближений не будет выполнено условие: ½c_n-c_n-1½<e

Решать уравнения численными методами можно с помощью языков программирования, но программа Excel дает возможность справиться сданной задачей более простым способом.

Программа Excel реализует метод простой итерации двумя способами с помощью ручного расчета и с автоматическим контролем точности.

у                                                                                                                 у=х

 

                              

1. 

 

j(с₀)

 

    с₀  с₂  с₄  с₆   с₈             корень                     с₉           с₇            с₅                с₃                                 с₁                             

                                                                                                                                                                                                                            х

	Рис. График итерационного процесса

 

2.Описание хода работы.

1.  Запустил МЕ.

2.  Построил график функции y=x и y=0,25+sin(x) на отрезке [0,5;2] с шагом 0,1 назвал лист «График».

3.  Выбрал команду Сервис®Параметры.
Открыл вкладку Вычисления.
Включил режим Вручную.
Отключил флажок Пересчет перед сохранением. Сделал значение поля Пре-дельное число итераций равным 1,относительную погрешность 0,001.

4.  Ввел в ячейку А1 строку «Решение уравнения x=0,25+sin(x) методом простой итерации».

5.  Ввел в ячейку А3 текст «Начальное значение»,в ячейку А4 текст «Начальный флаг»,в ячейку В3 значение 0,5 ,в ячейку В4 слово ИСТИНА.

6.  Присвоил ячейкам В3 и В4 имя «нач_зн» и «нач».
В ячейке В6 будет выполняться проверка,равна ли истина значению ячейки «нач».Если это так,х будет установлено равным начальному значению, в противоположном случае равным ячейке В7,т.е. 0,25+синуса х.В ячейке В7 выч-исляется 0,25-синуса ячейки В6,и тем организуется циклическая ссылка.

7.  В ячейку А6 ввел y=x,и в ячейку А7 y=0,25+sin(x).В ячейку В6 формулу:
=ЕСЛИ(нач;нач_зн;В7).
В ячейку В7 формулу: y=0,25+sin(B6).

8.  В ячейку А9 ввел слово Погрешность.

9.  В ячейку  В9 ввел формулу: =В7-В6.

10. С помощью команды Формат-Ячейки(вкладка Число) преобразовал ячейку В9 в экспоненциальный формат с двумя цифрами после запятой.

11. Затем организовал вторую циклическую ссылку-для подсчета количества ите-раций.В ячейку А11 ввел текст «Количество итераций».

12. В ячейку В11 ввел формулу: =ЕСЛИ(нач;0;В12+1).

13. В ячейку В12 ввел =В11.

14. Для выполнения расчета установил табличный курсор в ячейку В4 и нажал клавишу F9(Вычислить) для запуска решения задачи.

15. Изменил значение начального флага на ЛОЖЬ,и снова нажал F9.При каждом нажатии F9 выполняется одна итерация и вычисляется следующее приближен-ное значение х.

16. Нажимал клавишу F9 до тех пор, пока значение х не достигло необходимой точности.
При автоматическом расчете:

17. Перешел на другой лист.

18. Повторил пункты с 4 по 7,только в ячейку В4 ввел значение ЛОЖЬ.

19. Выбрал команду Сервис®Параметры(вкладка Вычисления).Установил зна-чение поля Предельное число итераций равным 100,относительную погреш-ность равной 0,0000001.Включил ркжим Автоматически.

3.Входные и выходные данные.

Входные:

Начальный флаг ЛОЖЬ.
Начальное значение 0,5

Функция y=0,25-x+sin(x)

Границы интервала [0,5;2]

Точность вычисления при ручном расчете 0,001

                                      при автоматическом  

Выходные:

1.  Ручной расчет:
число итераций      37
корень уравнения  1,17123

2.  Автоматический расчет:
число итераций      100
корень уравнения  1,17123

3.  Решение уравнения графическим способом:
корень уравнения  1,17

Заключение.

          В ходе данной курсовой работы я ознакомился с различными методами решения уравнений:

·  Аналитическим методом

·  Графическим методом

·  Численным методом

          Но так как большинство численных методов решения уравнений являются итерационными, то я на практике использовал этот метод.

          Нашел с заданной точностью корень уравнения 0,25-x+sin(x)=0 на промежутке [0,5;2] методом простой итерации.

Приложение.

1.Ручной расчет.

2.Автоматический расчет.

3.Решение уравнения 0.25-x-sin(x)=0 графическим способом.

Библиографический список.

1.  Волков Е.А. «Числовые методы».

2.  Самарский А.А. «Введение в числовые методы».

3.  Игалеткин И.И. «Числовые методы».