Решение математической задачи, используя параметры, характеризующие окружность и квадрат

          1. Если A~B, значит найден какой-то закон, по которому элементу множества A – a_i  соответствует b_i – элемент множества B. Также, если B~C, значит b_i соответствует c_i. Суммируя оба закона можно заключить, что a_i соответствует c_i. Следовательно множество А ~ С.    

          2. Окружность характеризуется двумя параметрами – точкой центра окружности и её радиусом. Взаимно однозначное соответствие можно уста­но­вить, приняв, что каждой точке плоскости соответствует окружность с радиусом 1 см. с центром в этой точке.

          3. Так как окружность характеризуется кроме точки центра её радиусом, можно построить бесконечное множество окружностей (с радиусами разной длинны) с центром в данной точке. Поэтому взаимно однозначное соответствие не задается.

          4. Окружность характеризуется точкой центра окружности и её ра­ди­усом. Квадрат характеризуют три параметра – длинна стороны, центр и угол поворота (он, в данном случае, нас не интересует, т.к. по условию задачи сто­роны квадратов параллельны осям координат). Взаимно однозначное соот­вет­ствие устанавливается, если принять, что

1) диаметр окружности равен длине стороны квадрата;

2) центры квадрата и окружности находятся в одной точке, при этом каждому квадрату соответствует вписанная либо описанная окружность.

3) вершина квадрата и центр окружности находятся в одной точке при этом радиус окружности равен стороне квадрата.

          5. Для того, чтобы установить взаимно однозначное соот­вет­ствие меж­ду множеством точек полу­ок­руж­ности и множеством точек её диаметра графически, необходимо выбрать точку со стороны диаметра полуо­круж­но­сти и провести из неё секущие прямые та­ким образом, чтобы каждая из них пе­ре­секала окружность и диаметр только по одному разу. Тогда точке а₁ на диаметре соответствует точка a₂ на ок­ру­жности, точке b₁ соответствует точка b₂ и так далее.

          6. Для того, чтобы установить взаимно однозначное соот­вет­ствие между множеством точек квадрата и множеством точек окруж­но­с­ти, вписанной в него графически, необхо­ди­мо выбрать точку внутри окружности и про­вести из неё секущие прямые, таким образом, что каждая из них будет пересекать окруж­ность и одну из сторон квадрата. Тогда точке а₁ на окружности соответствует точка a₂ на стороне квадрата, точке b₁ соответствует точ­ка b₂ и так далее.

          7.

          8.

          9.

          10.

          11.

          12.  Возьмем точку М внутри куба, которая имеет координаты

                              x = 0, x₁ x₂ x₃ x₄ …

                              y = 0, y₁ y₂ y₃ y₄ …

                              z = 0