Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине

Группа____________________________   К работе допущен____________________

                                                                                                                                                                (Дата, подпись преподавателя)

Студент ___________________________  Работа выполнена___________________

                                                     (ФИО студента)                                                                                                  (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель______________________ Отчёт принят_______________________                                                                                                                                                                  (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №_______5____

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1.  Цель работы:

Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине.

2. Настенный кронштейн, с подушками для опорных призм физического маятника.

 

1 – призма 1

2 – призма 2

3 – груз, закрепленный  на шкале

4 – подвижный груз.

М – кронштейн

А – физ. маятник

С, D – грузы

B1, B2 – призмы

d1, d2 – расстояние до центра масс

3. Основные теоретические положения к данной работе                             (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О — обозначает горизонтальную ось вращения, точка В — центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

                                                                                                          (1)

где m—масса физического маятника, d—кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, —угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых  угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Учитывая, что векторы  и  антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

                                                   .                                                    (1а)

При малых углах можно принять , если  выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

                                                    .                                                              (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

                                                                                                                             (3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а—угловое ускорение, причем                                              .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

                                                          .                                                      (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

                                               ,                                         (5)

где , а  и —постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины  и  называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а a₀—начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина w₀ собственной циклической частотой колебания. По истечении времени  фаза получает приращение, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

 T₀ называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

                                                                                                           (6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

                                                       .

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

                                                          .                                                          (7)

Это и есть формула приведенной длины  физического маятника.

Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн, на котором смонтированы подушки для опорных призм физического маятника. На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно изменять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (рис. 5), на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4 в форме чечевиц, один из которых (3) закреплен, а другой может перемещаться по шкале и закрепляться в нужном положении. Расстояние между опорными призмами равно 0,730 м. Масса маятника m=10,55 кг (Δm=0,01 кг).