Изучение вынужденных электромагнитных колебаний в последовательном колебательном контуре

  ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ                 КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы. Изучение с помощью электронного осцил­лографа вынужденных электромагнитных колебаний в после­довательном контуре; наблюдение резонанса напряжений и снятие резонансных кривых; определение двумя способами добротности контура; расчёт внутреннего активного электро­сопротивления генератора.

Вынужденными называются колебания, возникающие в какой-либо системе под действием периодической внешней (вынуждающей) силы. Характер вынужденных колебаний оп­ределяется свойствами колебательной системы и свойствами источника вынуждающей силы.

В работе научаются линейные вынужденные колебания в последовательном электромагнитном контуре с сосредоточен­ными параметрами R, L, С (рис. 1). Источником вынуждаю­щей силы является генератор, с бесконечно малым внутрен­ним электросопротивлением, ЭДС генератора изменяется по гармоническому закону ε = ε₀cosΩt.

Рис. 1

Для мгновенных значений токов и напряжений в иссле­дуемом контуре можно записать закон Ома в обобщенной форме

,

(1)

где U — разность потен­циалов на обкладках кон­денсатора; R — полное активное электросопро­тивление цепи контура; I — квазистационарный электрический ток в цепи контура.

Так как на экране ос­циллографа наблюдается временнáя зависимость U(t), решим уравнение(1) относительно U. Выполнив замены

, 

и введя обозначения  и , получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, описывающее вынужденные колебания разно­сти потенциалов на обкладках конденсатора:

= -ε0cosΩt,

(2)

Здесь ω₀ — круговая (циклическая)частота собственных не­затухающих колебаний;  δ— коэффициент затухания собствен­ных колебаний; Ω и ε₀ — круговая частота и амплитуда вы­нуждающей ЭДС.

Общее решение уравнения (2) для случая   имеет вид

+ U0cos(Ωt - α),

(3)

где  — круговая частота затухающих собствен­ных колебаний; φ₀ и α — начальные фазы запухающих и вы­нужденных колебаний разности потенциалов на конденсаторе. Из уравнения (3) видно, что в начале действия внешней силы характер колебаний изменяется во времени, но с за­туханием собственных колебаний в контуре устанавливаются гармонические колебания вида

U0cos(Ωt - α),

(4)

Амплитуда и начальная фаза установившихся колебаний:

;	(5)
,	(6)

определяются амплитудой вынуждающей ЭДС ε₀ и часто­той Ω, а также параметрами контура R, L, С.

По мере приближения частоты колебаний вынуждающей силы Ω к частоте собственных электромагнитных колеба­ний ω₀ в последовательном контуре наступает так называемый  резонанс напряжений, т. е. резкое возрастание амплитуд напряжений вынужденных колебаний на реактив­ных элементах контура L и С. При этом в колебательный контур от внешнего источника поступает наибольшая мощ­ность.

Исследуя (5) на экстремум получим, что разность потенциалов на конденсаторе достигает максимального, т. е. ре­зонансного значения:

(7)

при частоте вынуждающей ЭДС

,

(8)

называемой круговой резонансной частотой.

Графическая зависимость амплитуды U₀ от частоты вы­ну­ждающей ЭДС называется резонансной кривой или резо­нансной характеристикой контура. На рис. 2 представлены резонансные кривые для различных значений коэффици­ента затухания δ. Очевидно, что резонансные значения ам­плиту­ды и частоты убывают с ростом δ (δ1 < δ2 < δ3, см. рис. 2). Следует отметить, что максимальная величина тока в после­довательном контуре достигается при частоте Ω =ω₀ для лю­бых значений δ.

Рис. 2.

Резонансные свойства линейных колебательных систем, в частности электромагнитных контуров, характеризуется добротностью. Добротность Q это есть умноженное на 2π отношение имеющейся в контуре электромагнитной энергии к средней энергии потерь за один период колебаний.

Пренебрегая электромагнитным излучением кон­тура и считая, что вся элект­ромагнитная энергия сосредо­точена в магнитном поле тока ка­тушки и электрическом поле конденсатора, а потери связаны с протеканием тока по электросопротивлений R (диссипативные потери), мо­жем величину добротности контура рассчитать по формуле:

Q;

(9)

где R = r + R_L + R_внеш — полное активное электросопро­тивление цепи контура; r — внутреннее активное электро­со­противление генератора (r << R); R_L — активное сопротив­ление катушки и соединительных проводов; R_внеш — актив­ное внешнее электросопротивлений, включенное в контур.

Так как в момент резонанса амплитуда колебаний в Q раз превышает амплитуду внешней ЭДС, то при малых значениях δ со­отношение (7) принимает вид

,

и для добротности получим выражение

;

(10)

Добротность контура можно также рассчитать по шири­не резонансной кривой. Ширина резонансной кривой (или полоса пропускания контура) есть интервал частот Δf = f₂ - f₁ на границах которого энергия, запасенная в контуре при резонансе, убывает в два раза, т. е. амплитуда колебаний U₀ отличается от амплитуды при резонансе в  раз (см. рис.2).

Для заданной величины δ добротность численно равна отношению резонансной частоты к ширине резонансной кри­вой:

;

(11)

т. е. ширина резонансной кривой тем уже, чем больше добротность контура.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Схема лабораторной установки для исследования вынужденных элект­ромагнитных колебаний изображена на рис. 3.

Рис.3. Схема лабораторной установки.

Колебательный контур состоит из последовательно соеди­ненных конденсатора ёмкостью С_к, катушки индуктивности L_к и магазина сопротивлений R, который может поочередно включаться в контур. Значения ёмкости С_к, индуктивности L_к и электросопротивлений R_L, указаны на панели установки.

Для возбуждения вынужденных колебаний используется генератор синусоидальных колебаний с несколькими диапазо­нами частот в пределах f_г = 1 ÷ 20 кГц. Частота выходно­го сигнала генератора изменяется грубо путем переключения диапазонов частот и плавно в пределах выбранного диапазо­на ручкой плавной подстройки частоты. Отсчёт частоты про­изводится по шкале частот выбранного диапазона. Резонанс­ная частота соответствует наибольшей амплитуде электромаг­нитных колебаний при заданном значении R.