Другие предметы \ Сопротивление материалов

Сложное напряженное состояние: Методическое пособие по курсу сопротивления материалов, страница 2

для хрупких материалов.

ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

И КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАПАСА.

Пример 1.

Сопоставить напряженные состояния и найти наименьший коэффициент запаса.

Рассмотрим первый случай напряженного состояния.

Главные напряжения определяем с помощью уравнения, записанного в инвариантной форме.

, где

Для решения кубического уравнения используем подстановку:

, тогда , где

Все три корня кубического уравнения действительные числа, если дискриминант . Для реальных напряженных состояний Д всегда меньше 0, т.к. главные напряжения могут быть только действительными величинами. В этом случае

;

|p| - абсолютное значение коэффициента p, а

Определяем инварианты напряженного состояния.

Находим коэффициенты p и q

Окончательно получаем:

Так как , для определения эквивалентных напряжений используем теорию Мора:

;

Соответственно коэффициент запаса будет равен:

Рассмотрим второй случай напряженного состояния.

Площадка, пересекающая ось y, является главной, соответственно (МПа) - главное напряжение.

Определим два других главных напряжения:

Получаем: ; ;

Так как пределы текучести при растяжении и статии равны, можно использовать как гипотезу наибольших касательных напряжений,, так и гипотезу формоизменения.

По гипотезе наибольших касательных напряжений:

По гипотезе формоизменения:

Соответственно коэффициенты запаса равны

и имеет один порядок.

На основании выполненных расчетов можно сказать, что первое напряженное

состояние более опасно.

Пример 2.

В поперечном сечении бруска возникают следующие внутренние силовые факторы: изгибающий момент в вертикальной плоскости ; изгибающий момент в горизонтальной плоскости ; крутящий момент . Сечение может быть выполнено в виде круга, прямоугольника ; квадрата или трубчатого профиля .

Найти наиболее рациональный вариант сечения, если F=500 н; l=20 см; МПа.

Рассмотрим первый вариант сечения – круг диаметром d.

; .

Опасная точка рассматриваемого сечения – точка 1 – лежит в плоскости действия суммарного момента. Изгиб происходит вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через центр тяжести сечения. ; .

; ;

Подставляя значения, получаем:

Касательные напряжения, возникающие от действия крутящего момента T, достигают в точке 1 максимального значения:

;

Выделим в окрестностях точки 1 элемент и проанализируем его напряженное состояние.

Одна из площадок рассматриваемого элемента свободна от действия касательных напряжений, следовательно, является главной. Нормальные напряжения на ней также отсутствует, что характерно для плоского напряженного состояния.

По другой площадке действуют только касательные напряжения; на третьей площадке имеют место и нормальные, и касательные напряжения.

Такое распределение напряжений характерно для плоского напряженного состояния.

Так как по условиям задачи механические характеристики материала не оговорены, можно воспользоваться гипотезой наибольших касательных напряжений.

(мм)

Минимально необходимый диаметр бруса составляет 23 мм.

Рассмотрим второй вариант сечения – прямоугольное.

Из эпюр распределения напряжений видно, что наиболее опасными являются точки 1, 2 и 3.

Изгибающий момент вызывает в точках 1 и 2 напряжения

, где

Изгибающий момент вызывает в точках 1 и 3 напряжения

, где

Крутящий момент T вызывает максимальные касательные напряжения посередине широкой грани (точка 3) , где зависит от отношения . При =2 a=0,246

Напряжение посeредине узкой грани (точка 2) будет меньше t=htmax (h зависит от и равно 0,795 )

Выделим в окрестностях точек 1, 2 и 3 элементы и исследуем их напряженное состояние.

Точка1 Точка2 Точка3

Напряженное состояние в точке 1 является линейным.

Напряженное состояние в точках 2 и 3 – плоское.

Точка 2.

Точка 3

Таким образом, наиболее опасной является точка 3.

Из условия определяем размеры поперечного сечения.

(мм)

Рассмотрим третий вариант сечения – квадрат.

Для квадрата , где a – сторона квадрата.

Характер распределения напряжений по сечению аналогичен предыдущему случаю, но т.к.

, то

Касательные напряжения посередине всех четырех сторон одинаковы

(при =1 a=0,208)

Точки 1, 2, и 3 расположены аналогично предыдущему случаю. Т.к. напряженные состояния в точках 2 и 3 полностью совпадают, ограничимся рассмотрением точек 1 и 2.

Точка 1