Анализ прохождения сигналов через линейные системы

3  Анализ прохождения сигналов через линейные системы

3.1  Способы задания линейных цепей

При передаче по системе связи сообщения и сигналы подвергаются различным преобразованиям как преднамеренным, сосредоточенным в передатчике и приемнике, так и нежелательным, избежать которых не удается из-за несовершенства аппаратуры.

Большинство преобразователей в системах связи являются четырехполюсниками, т.е. устройствами с двумя входными полюсами и двумя выходными. Одно входное воздействие _вх(t) преобразуется в один выходной процесс – отклик _вых(t)

.

Если связь выхода со входом описывается линейным оператором, в общем случае дифференциальным уравнением, то такой четырехполюсник называют линейным четырехполюсником или линейным фильтром.

Характерной особенностью  линейных фильтров является справедливость для них принципа суперпозиции. Это означает, что реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий

                                                     (3.1)

Использование принципа суперпозиции облегчает определение реакции системы на заданное воздействие. Его можно выразить суммой простых функций, для каждой из которых реакция  легко находится.

Итак, пусть задана линейная система дифференциальным уравнением:

.

Как известно из математики, решение дифференциального уравнения имеет вид:

,

где первая часть  есть общее решение однородного уравнения, а вторая часть B(t) – частное решение неоднородного, p_n – корни характеристического уравнения .

Если корни характеристического уравнения не кратны и их действительные части меньше нуля, то при ограниченном по времени воздействии _вх(t), получим ограниченную реакцию _вых(t). Такие фильтры называют устойчивыми и в дальнейшем будем рассматривать только их.

Найдем преобразование Фурье от правой и левой частей уравнения (3.1) и выразим явно

.

Обозначим через  и назовем комплексным коэффициентом передачи четырехполюсника первый множитель справа.

Используя показательную форму представления комплексных чисел, можно записать

, где

 - называют амплитудно-частотной, а - фазочастотной характеристикой четырехполюсника.

Основываясь на взаимности прямого и обратного преобразования Фурье, мы можем найти для каждого некоторую функцию времени

Функцию  называют импульсной переходной характеристикой. Ее можно трактовать как реакцию фильтра на входное воздействие в виде - функции. Это можно показать так.

На основании свойства преобразования Фурье (9) мы можем записать из соотношения частотного:

 

соотношение временное:

.

В частности, для

.

Поскольку реакция не может опережать входное воздействие, т.е. , при или , при , то

в случае , при

Если найти обратное преобразование Фурье от спектра выходного сигнала равного , то получим

.

Таким образом, линейный четырехполюсник может быть задан либо комплексным коэффициентом передачи,  либо импульсной переходной характеристикой. Эти описания эквивалентны и позволяют находить реакцию четырехполюсника на произвольный входной сигнал.

а)

б) .

3.2  Неискаженная передача сигналов

Для неискаженной передачи сигнала необходимо, чтобы отклик линейной системы был точной копией входного сигнала. Допускается различие только в амплитуде, так как важна форма, а не величина отклика. Кроме того, выходной сигнал может запаздывать по времени относительно входного сигнала. Отсюда очевидно, что коэффициент передачи системы  должен быть постоянным на всех частотах, а фазовый сдвиг удовлетворять определенному соотношению.

Действительно, если сигнал передается без искажения, то

.

По теореме запаздывания (свойство 4 преобразования Фурье) мы можем утверждать, что

.

Следовательно, неискажающая система должна иметь коэффициент передачи

.

Изобразим эту функцию в виде двух характеристик: амплитудно-частотной и фазочастотной.

Для неискаженной передачи сигналов необходимо, чтобы амплитудно-частотная характеристика была постоянна на всех частотах, а фазочастотная – линейна. Коэффициент линейности в силу принципа причинности должен быть отрицательным и иметь размерность времени.

Тот факт, что фазовый сдвиг оказался пропорциональным частоте означает просто постоянную задержку на всех частотных составляющих. Поскольку добавление фазового сдвига  может привести лишь к изменению знака сигнала, более строго можно записать

Степень постоянства величины реальной системы обычно характеризуют ее полосой пропускания. Полоса пропускания – это интервал частот, в пределах которого не становится меньше  своего значения на средней частоте.

=() – полоса пропускания.

Реальную систему с бесконечной полосой пропускания из-за физических ограничений сделать невозможно. Удовлетворительную неискаженную передачу можно обеспечить при достаточно большой, но конечной полосе пропускания. Это связано с тем, что энергия реальных сигналов убывает с увеличением частоты. Ослабление высокочастотных составляющих в этом случае приведет к незначительным искажениям сигнала, поскольку частотные составляющие, содержащие наибольшую часть энергии сигнала, передается без ослабления.

Часто используются для задания реальных фильтров модели идеальных фильтров: идеальный фильтр нижних частот, идеальный фильтр верхних частот, идеальный полосовой фильтр. АЧХ и ФЧХ таких фильтров приведены ниже.

 

3.3  Искажения сигналов, вызванные ограниченностью АЧХ

Влияние на форму сигнала ограниченности АЧХ рассмотрим на примере идеального низкочастотного фильтра. Пусть АЧХ ограничена частотой , а ФЧХ линейна. На вход подан единичный скачок u(t).

Определим реакцию на этот  входной сигнал. Спектр u(t) нами получен ранее:

.

Спектр выходного сигнала для идеального низкочастотного фильтра будет:

Выходной сигнал, как функция времени, определяется обратным преобразованием Фурье.

Интеграл в элементарных функциях не выражается. Но он табулирован и называется интегральным синусом. График его приведен на рисунке (а).

 

Реакция фильтра на единичный скачек (б) представлена на рисунке (в). Как  видно из рисунка выходной сигнал запаздывает на время  имеет колебательный характер на вершине, амплитуда его превышает на 9%; фронт имеет конечную крутизну, причем время нарастания, определенное как промежуток от наименьшего до наибольшего значения амплитуды сигнала, обратно пропорционально частоте среза. В литературе известны и другие определения времени нарастания, например, по пересечениям касательной с осью абсцисс и уровнем  (тогда ) или от 0,1 до 0,9 установившиеся значения.

На рисунке мы видим и парадокс, нарушение принципа причинности. Система реагирует на входной сигнал еще до подачи его на вход (колебательность у основания скачка). Причина этого явления в том, что идеальный фильтр относится к числу физически нереализуемых, т.к. его АЧХ и ФЧХ выбраны произвольно и независимо друг от друга. Для реализуемых фильтров АЧХ и ФЧХ связаны друг с другом преобразованием Гильберта. К этому вопросу мы вернемся позже.

Из полученного результата легко найти реакцию фильтра на прямоугольный импульс длительностью . Его можно представить как разность двух скачков . Тогда  будет суперпозицией двух интегральных синусов.

			t

 

Очевидно, что при передаче данных по каналу с полосой длительность символа не может быть меньше чем . Следовательно, существует верхний предел (граница) скорости модуляции, называемый пределом Найквиста.

. Для телефонного канала, например,

3.4  Искажения сигнала из-за нелинейности ФЧХ

Влияние фазочастотных искажений рассмотрим для сигнала произвольной формы, но с ограниченным спектром []. Коэффициент передачи фильтра будем считать равным , где  - нелинейная функция. Пусть, например,

.

Такой функцией достаточно хорошо аппроксимируется ФЧХ четырехпроводного телефонного канала без фазовой коррекции.

 

Выходной сигнал находится как обратное преобразование Фурье от спектра выходного сигнала:

Воспользуемся представлением в виде ряда по бесселевым функциям для .

Тогда,

Если  невелико, то , а  и

.

Поскольку ранее мы ввели  величину время нарастания , можно считать, что . Тогда .

Выходной сигнал получается суперпозицией трех сигналов: основного, опережающего эхо-сигнала и отстающего эхо-сигнала, изображенных на рисунке.

 

Форма эхо-сигналов совпадает  с формой основного, а амплитуда определяется величиной  - половиной максимального отклонения от линейности.

Итак, при фазовых искажениях колебательного вида переходный процесс перестает быть нечетно-симметричным относительно своей средней точки, удлиняется время переходного процесса.  «Эхо-сигналы» являются помехой для соседних импульсов, т.е. имеет место межсимвольная интерференция.