Замкнутая многоканальная система массового обслуживания

Глава 11. Замкнутая многоканальная СМО

Рассмотрим теперь более общий, чем в предыдущем разделе, случай замкнутой СМО, состоящей из n (≥ 1) каналов обслуживания и i (> n) источников заявок. Как и в предыдущем разделе, каждый источник может находиться только в одном из двух состояний: активном или пассивном. Все время пребывания поданной источником последней заявки в системе (в очереди или под обслуживанием) источник находится в пассивном состоянии, в котором он не может послать следующей заявки. Как только поданная источником заявка будет обслужена, источник сразу же переходит в активное состояние, в котором он может послать следующую заявку. Каждый источник порождает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Каждый канал порождает простейший поток обслуживаний с интенсивностью μ. Нетрудно понять, что если бы число источников i не превышало числа каналов n, то это привело бы к существенному простаиванию каналов. Поэтому мы и полагаем i > n.

Пронумеруем состояния системы опять же по числу источ­ников, пребывающих в пассивном состоянии, или что то же, — по числу заявок, находящихся в СМО (как в очереди, так и под обслуживанием):

s₀ — все i источников находятся в активном состоянии, все nканалов свободны, очереди нет;

s₁ — один источник находится в пассивном состоянии, один канал занят обслуживанием заявки, поданной этим источником, остальные i-1 источников находятся в активном состоянии, n-1 каналов свободны, очереди нет;

s₂ — два источника пребывают в пассивном состоянии, два канала заняты, i—2 источника в активном состоянии, n—2 канала свободны, очереди нет;

…

s_n — все n источников находятся в пассивном состоянии, все n каналов заняты, i-n источников в активном состоянии, очереди нет;

s_n+1— n+1 источников в пассивном состоянии, n каналов –  заняты, одна заявка в очереди, i—(n+1) источников в активном состоянии;

…

s_i — все i источников в пассивном состоянии, n каналов за­няты, i—1 заявок в очереди.

Граф состояний рассматриваемой СМО показан на рис. 11.1.

Параметры и характеристики замкнутой многоканальной СМО сведены в табл. 11.1 и 11.2.

Таблица 11.1

Параметры замкнутой многоканальной СМО

№ п/п	Параметры	Обозначения, значения
1	Число каналов обслуживания	n ≥ 1
2	Число источников заявок	i > n
3	Интенсивность простейшего потока заявок, порождаемого каждым источником	λ = const (λ не зависит от времени t)
4	Производительность каждого канала – интенсивность простейшего потока обслуживаний	μ = const (μ не зависит от времени t)
5	Производительность каждого источника при совершении им полезной работы в активном состоянии	l

Таблица 11.2

Характеристики функционирования замкнутой многоканальной СМО

№ п/п	Предельные характеристики	Обозначения, формулы
1	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой каждым источником заявок
2	Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой всеми i источниками заявок
3	Вероятность того, что все n каналов свободны
4	Вероятность состояний СМО
5	Среднее число заявок под обслуживанием – среднее число занятых каналов
6	Среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием) – среднее число источников в пассивном состоянии
7	Среднее число заявок в очереди
8	Абсолютная пропускная способность
9	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
10	Относительная пропускная способность СМО
11	Средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок
12	Коэффициент готовности – вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии
13	Вероятность того, что в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии sk
14	Вероятность того, что поступившая заявка тут же будет принята к обслуживанию
15	Вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала обслуживания
16	Среднее время ожидания заявки в очереди
17	Среднее время обслуживания заявки
18	Среднее время пребывания заявки в системе
19	Средняя производительность группы источников, находящихся в активном состоянии
20	Средняя потеря производительности за счет группы источников, находящихся в пассивном состоянии

Тесты

Тест 11.1. Для n-канальной СМО замкнутого типа состояния системы нумеруют по числу заявок находящихся в состоянии

1) в активном

2) в пассивном

Тест 11.2. Для n-канальной СМО замкнутого типа предельные вероятности состояний существуют при значениях трафика

1) больших единицы

2) меньших единицы

3) любых

Тест 11.3. Для n-канальной СМО замкнутого типа вероятность того, что поступившая заявка тут же будет принята к обслуживанию, равна вероятности того, что в момент поступления менее n источников находятся в состоянии

1) активном

2) пассивном

Тест 11.4. Для n-канальной СМО замкнутого типа абсолютная пропускная способность равна произведению среднего числа занятых каналов на интенсивность

1) обслуживания всеми каналами

2) обслуживания одним каналом

3) входящего потока

Тест 11.5. Для n-канальной СМО замкнутого типа относительная пропускная способность равна

1) единице

2) вероятности того, что заявка будет немедленно принята к обслуживанию

3) вероятности того, что система находится в активном состоянии

4) вероятности того, что система находится в пассивном состоянии

Тест 11.6. Для n-канальной СМО замкнутого типа среднее число заявок в очереди равно

1) разности среднего числа заявок в пассивном состоянии и среднего числа заявок в активном состоянии

2) разности среднего числа заявок в пассивном состоянии и среднего числа заявок под обслуживанием

3) разности среднего числа заявок в активном состоянии и среднего числа заявок под обслуживанием

Тест 11.7. Для n-канальной СМО замкнутого типа событие, состоящее в том, что пришедшая заявка встанет в очередь, является противоположным событию, состоящему в том, что пришедшая заявка

1) немедленно будет принята к обслуживанию

2) свободны n-каналов

3) заняты n-каналов