ВЗМП 1 при
равнозначных критериях решена, если найдена точка и
такая верхняя оценка
,
что
(2.4.7)
Т.е., и здесь ВЗМП 1 может быть сведена здесь к соответствующей скалярной задаче:
(2.4.8)
Соответственно, задача (2.4.8)
называется - задачей и ее решение методом ГРНК
дает единственную точку
, которая
оптимальна по Парето.
Точно так же строятся принципы оптимальности для решения ВЗМП 2, только формулировки, как уже говорилось, будут “противоположными”.
ВЗМП 2 при
равнозначных критериях решена, если найдена точка и такой верхний уровень
или нижняя оценка
, что:
или
.
Таким образом, ВЗМП 2 так же сводится к скалярной задаче:
или
ВЗМП 3 при
равнозначных критериях решена, если найдена точка и
такой нижний уровень
или
верхняя оценка
, что:
или
таким образом, ВЗМП 3 сводится к скалярной задаче:
или
2.4.4. Алгоритм решения ВЗМП с равнозначными критериями.
Шаг 1.
Найти оптимумы для каждого критерия.
· Для ВЗМП 1:
Решить l1 – (по числу критериев) – скалярных задач оптимизации:
а также, соответственно, l1 скалярных задач:
чтобы получить
значения и
,
.
· Для ВЗМП 2:
Решить 2l2 – (по числу критериев) – скалярных задач оптимизации:
и
· Для ВЗМП 3:
Решить 2(l1+l2) скалярных задач:
и
Шаг 2.
Выполнить единую нормализацию критериев.
· Для всех ВЗМП одинаково:
или
Шаг 3.
Построить - или
- задачу.
· Для ВЗМП 1:
или
· Для ВЗМП 2:
или
· Для ВЗМП 3:
или
Шаг 4.
Решаем - или
- задачу и находим единственную
точку
, оптимальную по Парето, в которой
гарантируем результат:
· Для ВЗМП 1:
или
(2.4.9)
· Для ВЗМП 2:
или
,
(2.4.10)
· Для ВЗМП 3:
или
. (2.4.11)
Шаг 5.
Зная величину
нормализованного критерия в точке , по формулам (2.4.1)
и (2.4.2) легко находим необходимые значения каждого критерия
2.5. ВЗМП с неравнозначными критериями.
Здесь, точно так же, как и в п.2.4. необходимо сначала нормализовать критерии, а потом определить для них принципы оптимальности. Но в плане нормализации, очевидно, все будет абсолютно идентично ВЗМП с равнозначными критериями, поэтому считаем, что критерии неравнозначной ВЗМП (2.3.9) приведены к единому нормализованному виду (2.4.1) или (2.4.2).
2.5.1. Определение приоритета критериев.
Как уже говорилось, частные критерии в ВЗМП имеют на практике разный вес – разную важность. Идея определения приоритета критериев состоит в том, чтобы ЛПР:
1) мог бы заданием большего веса улучшить значение определенного, важного для него критерия;
2) мог задать этот вес не интуитивно, а на достаточно строгой математической, т.е. объективной основе.
Пусть,
например, нам важен критерий с индексом q и его
относительный уровень в ВЗМП 1 - . Чтобы улучшить
его, необходимо найти такую точку
, в которой
. Но, очевидно, что увеличивая относительный
уровень q – критерия, мы будем изменять уровни
других критериев, т.к. все они связаны по
,поэтому,
чтобы улучшать уровень q – критерия
целенаправленно, необходимо установить связь между q
– критерием и всеми остальными.
В ВЗМП 1 связь q – критерия со всеми остальными критериями определяется вектором
,
где-
коэффициент связи частных критериев q и k,
.
Если в ВЗМП 1,
в т. имеем
,
то говорят, что q – критерий имеет приоритет по
отношению к k – критерию.
Если в ВЗМП 2,
в т. имеем
,
то говорят, что q – критерий имеет приоритет по
отношению к k – критерию.
Если в ВЗМП 3,
в т. имеем
,
то говорят, что q – критерий имеет приоритет по
отношению к k – критерию.
В
ВЗМП 1 и ВЗМП 3 множество точек называется областью
приоритета q–критерия над всеми другими, если
.
Точно
такая же область в ВЗМП 2 определяется условиями ,
.
2.5.2. Принципы оптимальности решения неравнозначных ВЗМП.
Для их построения воспользуемся принципом гарантированного результата и зададим в ВЗМП 1 нижний уровень q – критерия, который необходимо достичь ЛПР, исходя из требований практики.
Очевидно, этот уровень будет определяться выражением
или, соответственно,
.
Таким образом, выбором некоторого значения мы можем определить нижний уровень q – критерия
.
Тогда, увеличивая его (),
мы сможем улучшить значение q –критерия и, с
помощью коэффициентов связи, проследить за изменениями остальных критериев.
ВЗМП 1 с
неравнозначными критериями считается решенной относительно q – критерия, если найдена точка и
нижний уровень
такой, что:
, (2.5.1)
. Стало быть, решение ВЗМП
1 опять сводится к решению скалярной задачи:
(2.5.2)
ВЗМП 2 с
неравнозначными критериями считается решенной относительно q – критерия, если найдена точка и
верхний уровень
такой, что:
, (2.5.3)
, а для этого необходимо
решить скалярную задачу:
(2.5.4)
ВЗМП 3 с
неравнозначными критериями считается решенной относительно q – критерия, если найдена точка и
нижний уровень
такой, что:
, (2.5.5)
, и найти решение скалярной
задачи:
(2.5.6)
При этом точки , полученные при решении каждой ВЗМП,
будут единственными и оптимальными по Парето. Задачи (2.5.1) – (2.5.3) являются
- задачами для решения
соответствующей ВЗМП. Совершенно аналогично можно построить принципы оптимальности,
используя относительные отклонения
.
Остается
определить, как найти значение, чтобы решить
- задачу, а с ней и ВЗМП с
неравнозначными критериями. Для этого ЛПР необходимо выбрать любое число из
диапазона:
,
,
где -
точка компромиссного решения соответствующей ВЗМП с равнозначными
критериями, а
- точка, в которой q – критерий достигает своего максимума при решении
«своей» скалярной задачи. В общем случае, диапазон чисел
,
представляет собой «траекторию движения» от точки , где критерии равнозначны, до точки
, где q – критерий
имеет наибольший приоритет над остальными.
2.5.3. Алгоритм решения ВЗМП с неравнозначными критериями.
Для любой ВЗМП количество принципиальных шагов алгоритма будет одинаковым. Разница будет в числе операций на первом шаге.
Шаг 1.
Решаем
соответствующую ВЗМП с равнозначными критериями (см.п.2.4.4.). Находим
точку , где достигается
,
и
точку
, где достигается гарантированный
результат (2.4.9) – (2.4.11).
Шаг 2.
ЛПР проводит
анализ результатов решения и, по величине ,
определяет q
– критерий, значения которого необходимо улучшить.
Шаг 3.
Определяются пределы изменения коэффициентов связи выбранного q – критерия по отношению к остальным:
,
где , а
;
.
Шаг 4.
ЛПР
выбирает необходимую величину и строит
- задачу (2.5.2), (2.5.4) или
(2.5.6), решая которую находит точку компромиссного решения
, где достигается
гарантированный результат (2.5.1), (2.5.3) или (2.5.5).
Шаг 5.
Зная величину
нормализованных критериев в точке , по формулам
(2.4.1) и (2.4.2), легко находим компромиссные значения каждого критерия
.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. – М.: Наука, 1983. – 124с.
[2] Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. – М.: Наука. 1986. – 140с.
[3] Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, 1965. – 276с.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.